Obliczyć granice
-
- Użytkownik
- Posty: 75
- Rejestracja: 5 lis 2006, o 18:41
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 23 razy
Obliczyć granice
Witam proszę o pomoc w obliczeniu takich przykładów:
1. \(\displaystyle{ \lim_{n\to }= \frac{1}{\sqrt[n]{n!}}}\)
2. \(\displaystyle{ \lim_{n \to }\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdot ... \frac{2n-1}{2n}}\)
3. \(\displaystyle{ \lim_{n\to } \frac{1+ \frac{1}{5}+...+ \frac{1}{5^{n}}}{\sqrt[n]{\sin (\frac{1}{n})}}}\)
4. \(\displaystyle{ \lim_{n \to }\frac{1}{n^{2}}+\frac{2}{n^{2}}+...+\frac{n-1}{n^{2}}}\)
5. \(\displaystyle{ \lim_{n \to }\frac{1^{2}}{n^{3}}+\frac{2^{2}}{n^{3}}+...+\frac{(n-1)^2}{n^{3}}}\)
[ Dodano: 14 Października 2007, 09:48 ]
Czyżby nikt nie był w stanie podzielić się informacjąjak to rozwiazać
1. \(\displaystyle{ \lim_{n\to }= \frac{1}{\sqrt[n]{n!}}}\)
2. \(\displaystyle{ \lim_{n \to }\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdot ... \frac{2n-1}{2n}}\)
3. \(\displaystyle{ \lim_{n\to } \frac{1+ \frac{1}{5}+...+ \frac{1}{5^{n}}}{\sqrt[n]{\sin (\frac{1}{n})}}}\)
4. \(\displaystyle{ \lim_{n \to }\frac{1}{n^{2}}+\frac{2}{n^{2}}+...+\frac{n-1}{n^{2}}}\)
5. \(\displaystyle{ \lim_{n \to }\frac{1^{2}}{n^{3}}+\frac{2^{2}}{n^{3}}+...+\frac{(n-1)^2}{n^{3}}}\)
[ Dodano: 14 Października 2007, 09:48 ]
Czyżby nikt nie był w stanie podzielić się informacjąjak to rozwiazać
Ostatnio zmieniony 14 paź 2007, o 00:26 przez 5artos, łącznie zmieniany 1 raz.
- Lorek
- Użytkownik
- Posty: 7150
- Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ruda Śląska
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 1322 razy
Obliczyć granice
4. 5. skorzystaj ze wzorów na sumę kolejnych liczb naturalnych/ ich kwadratów:
3. w liczniku masz szereg geometryczny, a w mianowniku
\(\displaystyle{ \sqrt[n]{sin\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{\frac{\sin\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}}\cdot\frac{1}{n}}= \frac{\sqrt[n]{\frac{\sin\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}}}}{\sqrt[n]{n}}}\)
i już ładnie widać co gdzie dąży.
3. w liczniku masz szereg geometryczny, a w mianowniku
\(\displaystyle{ \sqrt[n]{sin\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{\frac{\sin\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}}\cdot\frac{1}{n}}= \frac{\sqrt[n]{\frac{\sin\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}}}}{\sqrt[n]{n}}}\)
i już ładnie widać co gdzie dąży.
- Calasilyar
- Użytkownik
- Posty: 2656
- Rejestracja: 2 maja 2006, o 21:42
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław/Sieradz
- Podziękował: 29 razy
- Pomógł: 410 razy
Obliczyć granice
g-dreamer,
\(\displaystyle{ \lim\limits_{n\to\infty} ft( \frac{2n-1}{2n}\right) ^{n} =
\lim\limits_{n\to\infty} ft( 1-\frac{1}{2n}\right) ^{n} =\\=
\lim\limits_{n\to\infty} ft( ft( 1+\frac{1}{(-2n)}\right) ^{-2n} \right)^{-\frac{1}{2}}=e^{-\frac{1}{2}}\neq 0}\)
\(\displaystyle{ \lim\limits_{n\to\infty} ft( \frac{2n-1}{2n}\right) ^{n} =
\lim\limits_{n\to\infty} ft( 1-\frac{1}{2n}\right) ^{n} =\\=
\lim\limits_{n\to\infty} ft( ft( 1+\frac{1}{(-2n)}\right) ^{-2n} \right)^{-\frac{1}{2}}=e^{-\frac{1}{2}}\neq 0}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 122
- Rejestracja: 28 lis 2006, o 00:57
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: nie pamiętam.
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 22 razy
Obliczyć granice
Calasilyar, racja.
2. Doszedłem do czegoś takiego:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}2^{1-2n}*\frac{(2n-1)!}{(n-1)!n!}}\)
i moje pomysły się kończą
2. Doszedłem do czegoś takiego:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}2^{1-2n}*\frac{(2n-1)!}{(n-1)!n!}}\)
i moje pomysły się kończą
- jarekp
- Użytkownik
- Posty: 173
- Rejestracja: 7 paź 2007, o 14:40
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 56 razy
Obliczyć granice
4. \(\displaystyle{ \lim_{n \to }\frac{1}{n^{2}}+\frac{2}{n^{2}}+...+\frac{n-1}{n^{2}} =
\lim_{n \to }\frac{n(n-1)}{2n^{2}}=\frac{1}{2}}\)
5. \(\displaystyle{ \lim_{n \to }\frac{1^{2}}{n^{3}}+\frac{2^{2}}{n^{3}}+...+\frac{(n-1)^2}{n^{3}} =\lim_{n \to }\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^{3}}=\frac{1}{3}}\)
[ Dodano: 14 Października 2007, 18:08 ]
2. \(\displaystyle{ \lim_{n \to }\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdot ... \frac{2n-1}{2n}}\)
\(\displaystyle{ (\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdot ... \frac{2n-1}{2n})^2=
\frac{1*3}{2^2}\cdot\frac{3*5}{4^2}\cdot ... \frac{(2n-1)(2n+1)}{(2n)^2}\cdot\frac{1}{2n+1}< \frac{1}{2n+1}}\)
stąd otrzymujemy że:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdot ... \frac{2n-1}{2n} \frac{2n-1}{2n}}\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdot ... \frac{2n-1}{2n}=0}\)
\lim_{n \to }\frac{n(n-1)}{2n^{2}}=\frac{1}{2}}\)
5. \(\displaystyle{ \lim_{n \to }\frac{1^{2}}{n^{3}}+\frac{2^{2}}{n^{3}}+...+\frac{(n-1)^2}{n^{3}} =\lim_{n \to }\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^{3}}=\frac{1}{3}}\)
[ Dodano: 14 Października 2007, 18:08 ]
2. \(\displaystyle{ \lim_{n \to }\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdot ... \frac{2n-1}{2n}}\)
\(\displaystyle{ (\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdot ... \frac{2n-1}{2n})^2=
\frac{1*3}{2^2}\cdot\frac{3*5}{4^2}\cdot ... \frac{(2n-1)(2n+1)}{(2n)^2}\cdot\frac{1}{2n+1}< \frac{1}{2n+1}}\)
stąd otrzymujemy że:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdot ... \frac{2n-1}{2n} \frac{2n-1}{2n}}\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdot ... \frac{2n-1}{2n}=0}\)