Obliczyć granice

[5artos]

Witam proszę o pomoc w obliczeniu takich przykładów:

1. \(\displaystyle{ \lim_{n\to }= \frac{1}{\sqrt[n]{n!}}}\)

2. \(\displaystyle{ \lim_{n \to }\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdot ... \frac{2n-1}{2n}}\)

3. \(\displaystyle{ \lim_{n\to } \frac{1+ \frac{1}{5}+...+ \frac{1}{5^{n}}}{\sqrt[n]{\sin (\frac{1}{n})}}}\)

4. \(\displaystyle{ \lim_{n \to }\frac{1}{n^{2}}+\frac{2}{n^{2}}+...+\frac{n-1}{n^{2}}}\)

5. \(\displaystyle{ \lim_{n \to }\frac{1^{2}}{n^{3}}+\frac{2^{2}}{n^{3}}+...+\frac{(n-1)^2}{n^{3}}}\)

[ Dodano: 14 Października 2007, 09:48 ]
Czyżby nikt nie był w stanie podzielić się informacjąjak to rozwiazać

[Lorek]

4. 5. skorzystaj ze wzorów na sumę kolejnych liczb naturalnych/ ich kwadratów:

3. w liczniku masz szereg geometryczny, a w mianowniku
\(\displaystyle{ \sqrt[n]{sin\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{\frac{\sin\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}}\cdot\frac{1}{n}}= \frac{\sqrt[n]{\frac{\sin\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}}}}{\sqrt[n]{n}}}\)
i już ładnie widać co gdzie dąży.

[luka52]

ad 1.
\(\displaystyle{ 0 < \frac{1}{\sqrt[n]{n!}} < \frac{1}{\sqrt{n}} \longrightarrow 0}\)

[g-dreamer]

2. z 3 ciągów:
\(\displaystyle{ 0 (1/2)^n< funkcja < (\frac{2n-1}{2n})^n 0}\)

[Calasilyar]

g-dreamer,
\(\displaystyle{ \lim\limits_{n\to\infty} ft( \frac{2n-1}{2n}\right) ^{n} =
\lim\limits_{n\to\infty} ft( 1-\frac{1}{2n}\right) ^{n} =\\=
\lim\limits_{n\to\infty} ft( ft( 1+\frac{1}{(-2n)}\right) ^{-2n} \right)^{-\frac{1}{2}}=e^{-\frac{1}{2}}\neq 0}\)

[g-dreamer]

Calasilyar, racja.
2. Doszedłem do czegoś takiego:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}2^{1-2n}*\frac{(2n-1)!}{(n-1)!n!}}\)
i moje pomysły się kończą

[jarekp]

4. \(\displaystyle{ \lim_{n \to }\frac{1}{n^{2}}+\frac{2}{n^{2}}+...+\frac{n-1}{n^{2}} =
\lim_{n \to }\frac{n(n-1)}{2n^{2}}=\frac{1}{2}}\)

5. \(\displaystyle{ \lim_{n \to }\frac{1^{2}}{n^{3}}+\frac{2^{2}}{n^{3}}+...+\frac{(n-1)^2}{n^{3}} =\lim_{n \to }\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^{3}}=\frac{1}{3}}\)




[ Dodano: 14 Października 2007, 18:08 ]
2. \(\displaystyle{ \lim_{n \to }\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdot ... \frac{2n-1}{2n}}\)

\(\displaystyle{ (\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdot ... \frac{2n-1}{2n})^2=
\frac{1*3}{2^2}\cdot\frac{3*5}{4^2}\cdot ... \frac{(2n-1)(2n+1)}{(2n)^2}\cdot\frac{1}{2n+1}< \frac{1}{2n+1}}\)

stąd otrzymujemy że:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdot ... \frac{2n-1}{2n} \frac{2n-1}{2n}}\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdot ... \frac{2n-1}{2n}=0}\)

[g-dreamer]

Well done. Chciałem zobaczyć, jak to będzie.