jak zapisać dowód

[juvex]

mam takie zadanko: udowodnij indukcyjnie, że \(\displaystyle{ \forall n\in N}\) a to taki przykład:
8|\(\displaystyle{ 5^{n}}\) + \(\displaystyle{ 2 3^{n-1}}\) + 1
i ja zaczełem tak to rozwiązywać:
1) sprawdzenie dla n=1 i dla n=2 i się zgadza
2) założenie 8|\(\displaystyle{ 5^{n}}\) + \(\displaystyle{ 2 3^{n-1}}\) + 1 \(\displaystyle{ \Longleftrightarrow}\) \(\displaystyle{ \exists k\in Z}\) \(\displaystyle{ 5^{n}}\) + \(\displaystyle{ 2 3^{n-1}}\) + 1 = 8k
3) teza 8|\(\displaystyle{ 5^{n+1}}\) + \(\displaystyle{ 2 3^{n+1-1}}\) + 1
i nie wiem jak zapisać dowód

[Piotr Rutkowski]

\(\displaystyle{ 5^{n+1}+2*3^{n}+1=5*(5^{n})+6*(3^{n-1})+1=3*(5^{n}+2*3^{n-1}+1)+2*5^{n}-2=3*8k+2(5^{n}-1)}\)
Teraz należy jeszcze udowodnić, że:
\(\displaystyle{ 4|(5^{n}-1)}\)
Korzystając z kongruencji mamy:
\(\displaystyle{ 5\equiv 1 \ (mod4)}\)
\(\displaystyle{ 5^{n}-1 \equiv 1^{n}-1 \equiv 0 \ (mod4)}\), co kończy nasz dowód , bo:
z naszego zapisu wynika, że:
\(\displaystyle{ 2*(5^{n}-1)=2*4s=8s}\) czyli ostatecznie:
\(\displaystyle{ 5^{n+1}+2*3^{n}+1=5*(5^{n})+6*(3^{n-1})+1=8k+8s=8(k+s)}\)

[juvex]

a skad sie wzieło s ? i czy nie mógłbyś zapisać to jakoś inaczej bez tego mod bo nie wiem co to jest i tego nie używamy

[Piotr Rutkowski]

Mamy tutaj tak jakby "dowód w dowodzie". Może to być dla Ciebie trochę mylące, ale wszystko jest w porządku. Chodzi o to, że w dowodzie dochodzimy do momentu, gdzie należy udowodnić, że \(\displaystyle{ 2*(5^{n}-1)=8s}\), czyli równoważnie, że:
\(\displaystyle{ 4|(5^{n}-1)}\) Chodzi o to, że nasz dowód zbiega się do tego, aby właśnie udowodnić tą ostatnią podzielność. Tą podzielność udowodniłem właśnie z kongruencji (spójrz do kompendium), ale można także na inny sposób. W tym momencie możesz także użyć indukcji, będzie to rodzaj wtedy "indukcji podwójnej" (tak jak tłumaczyłem, masz dowód w dowodzie)
A więc skoro nie chcesz z kongruencji, to udowodnię tę podzielność z indukcji:
Sprawdzasz dla n=1
Założenie:\(\displaystyle{ 5^{n}-1+4k}\)
Dowód:\(\displaystyle{ 5^{n+1}-1=5^{n}*5-1=5*(5^{n}-1)+4=5*4k+4=4(5k+1)=4s}\)
Czyli ostatecznie udowodniliśmy co trzeba było

[juvex]

a jak zrobić taki przykład: \(\displaystyle{ 10|3^{4n+2}+1}\) ??