Indukcja - trzy zadania.

[Molas.]

Udowodnij za pomoca metody indukcji matematycznej, ze dla dowolnych \(\displaystyle{ n}\) naturalnych zachodza:

1. \(\displaystyle{ a^{n} + b^{n} \leqslant (a+b)^{n}, a,b \geqslant 0}\)

2. \(\displaystyle{ (a+b)^{n} \leqslant 2^{n-1}a^{n}b^{n}, a,b \geqslant 0}\)

3. \(\displaystyle{ x_{1} + x_{2} + \ldots + x_{n} \geqslant n \hbox{ jesli } x_{1},x_{2}, \ldots ,x_{n} > 0, x_{1}x_{2}\ldots x_{n}=1}\)

Z góry dzięki za pomoc.

[Piotr Rutkowski]

Pierwsze nawet nie wynaga indukcji, wystarczy sobie otworzyć nawias po prawej (np. rozpisać z dwumianu Newtona) i rozwiązanie jest oczywiste.
2)To wcale nie jest prawda. Weźmy sobie \(\displaystyle{ a=b=\frac{1}{10}}\)
3)POdziel przez n i z nierówności pomiędzy średnią artymetyczną i geometryczną

[Molas.]

A nie da sie tych zadan udowodnic czysto indukcyjnie, ez dwumiany newtona i calych tych srednich? Bo to sa zadania z cwiczen z analizy, ktore moga pojawic sie ewentualnie na kolokwium - a niechcialbym stracic punktow, robiac je w inny sposob, niz wymaga tego tresc zadania.

[Piotr Rutkowski]

Można:
1)Zrobię sam dowód:
\(\displaystyle{ (a+b)^{n+1}=(a+b)^{n}(a+b) q (a^{n}+b^{n})*(a+b)\geq a^{n+1}+b^{n+1}}\)

[Molas.]

W zadaniu trzecim doszedlem do czegos takiego:

Zalozenie indukcyjne: \(\displaystyle{ \bigwedge\limits_{x_{1}, x_{2} \ldots x_{n} > 0} x_{1}x_{2} \ldots x_{n} = 1 \Rightarrow x_{1} + x_{2} + \ldots x_{n} \geqslant n}\)

Teza indukcyjna: \(\displaystyle{ \bigwedge\limits_{y_{1}, y_{2} \ldots y_{n},y_{n+1} > 0} y_{1}y_{2} \ldots y_{n}y_{n+1} = 1 y_{1} + y_{2} + \ldots y_{n} + y_{n+1} qslant n+1}\)

W dowodzie musimy wykazac, ze owa implikacja jest prawdziwa. Z tabelki wartosci logicznych dla implikacji wynika, ze jest ona prawdziwa we wszystkich przypadkach oprocz jednego: kiedy poprzednik jest prawdziwy, a nastepnik falszywy. Czyli moznaby probowac teraz skorzystac z dowodu nie wprost i szukac sprzecznosci miedzy zalozeniem indukcyjnym i sprawdzeniem dla n=1, ktore przyjmujemy za prawdziwe, i miedzy teza, ktora ma byc falszywa. Nie wiem tylko, czy mozna tak mieszac zasade indukcji matematycznej z dowodem nie wprost - co o tym myslicie?

[Piotr Rutkowski]

Można sobie oczywiście mieszać takie rzeczy, ale tutaj nie ma to po prostu sensu, bo poprzednik jest tutaj zawsze prawdziwy (z samych warunków zadania), a więc korzystając z Twojego toku rozumowania żeby udowodnić prawdziwość implikacji musielibyśmy udowodnić naszą tezę Uważam jednak, że korzystanie ze średniej aryt.-geo. jest tutaj najbardziej na miejscu

[Molas.]

Już rozumiem.

Ale skoro korzystam z pomocniczego twierdzenia o nierównosci na srednia arytmetyczna i geometryczna, to musze je tez chyba dodatkowo i oddzielnie jakos udowodnic? Zeby nie bylosytuacji, kiedy udowadniam poczatkowe twierdzenie przy uzyciu kolejnego twierdzenia, przyjmowanego za pewnik...?

[Piotr Rutkowski]

Hmm, raczej nkt Ci nie będzie kazał udowadniać takiego twierdzenia, ale jeśli bardzo chcesz to moge tu przedstawić jeden z wielu dowodów:
Udowodnić, że:
\(\displaystyle{ \frac{a_{1}+a_{2}+...+a_{n}}{n}\geq \sqrt[n]{a_{1}a_{2}...a_{n}}}\)
dla \(\displaystyle{ a_{1},a_{2},...,a_{n} R_{+}}\)
Dowód:
Przez A oznaczmy naszą średnią arytmetyczną
\(\displaystyle{ (\prod_{i=1}^{n}a_{i})^{\frac{1}{n}}=A(\prod_{i=1}^{n}(1+\frac{a_{i}-A}{A}))^{\frac{1}{n}}
q A(\prod_{i=1}^{n}e^{\frac{a_{i}-A}{A}})^{\frac{1}{n}}=A*e^{\frac{\sum_{i=1}^{n} (\frac{a_{i}-A}{A})}{n}}=A}\)

Źródło: "Wędrówki po krainie nierówności".
Uwierz mi, nikt nie będzie chciał żebyś na jakimkolwiek sprawdzianie udowadniał tę nierówność

[Molas.]

Milusi ten dowod.

A mozna juz tak na koniec prosic o w miare dokladne udowodnienie zadania trzeciego za pomoca tego twierdzenia o srednich? Bo nie za bardzo wiem, jak to powinno byc 'ladnie' zapisane.

[Piotr Rutkowski]

Z nierówności pomiędzy średnimi:
\(\displaystyle{ \frac{x_{1}+x_{2}+...+x_{n}}{n} q \sqrt[n]{x_{1}x_{2}...x_{n}}=\sqrt[n]{1}=1}\) wymnażając wszytsko razy n
\(\displaystyle{ x_{1}+x_{2}+...+x_{n} q n}\)

[micholak]

A ja bardzo lubie dowod 3 czysto indukcyjny, (jak dostyalem to zadanie wpadlem na niego po prawie dniu siedzenia chociarz teraz wydaje sie banalny )

zalozmy ze nie wszystkie wyrazy sa rowne 1.
Wowczas jakis \(\displaystyle{ a_{k}}\) jest wiekszy od jedynki
i jakis \(\displaystyle{ a_{l}}\) jest mniejszy od jedynki

zauwaz ze \(\displaystyle{ a_{k}+a_{l} q 1 + a_{k}a_{l}}\)

teraz indukcja powinna byc juz prosta

[Piotr Rutkowski]

micholak czy mógłbyś teraz jeszcze podać w jaki sposób to nam umożliwia ze skorzystania z założenia indukcyjnego?

[micholak]

Hmm poniewaz niewygodnie w texie to tak ponumerujmy ze \(\displaystyle{ a_{k}}\) to bedzie \(\displaystyle{ a_{n}}\), a \(\displaystyle{ a_{l}}\) \(\displaystyle{ a_{n+1}}\)

oczywiscie mamy n+1 liczb, dla n i mniejszej ilosci nasza nierownosc zachodzi.

no i jest
\(\displaystyle{ a_{1}+..+a_{n}+a_{n+1}\geq a_{1}+...+a_{n-1} + a_{n}a_{n+1} +1 q n + 1}\)

ostatnie przejscie jest stad ze jesli rozwazymy ciag
\(\displaystyle{ b_{i}=a_{i}}\) dla i mniejszych ostro od n i \(\displaystyle{ b_{n}=a_{n}a_{n+1}}\)
to dla niego mamy nierownosc

[Piotr Rutkowski]

To fajnie, ale właśnie dlatego zapytałem się o to wykorzystanie założenia indukcyjnego, bo w naszym ciągu \(\displaystyle{ b_{i}}\) nie możemy sobie rozważać, że będą one spełniały jakieś warunki. Chodzi o to, że tutaj nie widze za bardzo sposobu wykorzystania indukcji jako takiej, bo teza może nie zawierać żadnych wyrazów takich samych jak w założeniu.

[micholak]

Nie rozumiem o co chodzi z tym nie zawieraniem wyrazow.

dla \(\displaystyle{ b_{i}}\) mamy

\(\displaystyle{ b_{1}...b_{n}=1}\) (to z tego ze jest tak dla a i z konstrukcji (w zasadzie powinienem napisac ze \(\displaystyle{ a_{1}...a_{n+1}=1}\) ale nie chce mi sie robic tego dokladnie, bo nie lubie za duzo pisac , a to jest raczej oczywiste )

wracajac do tematu z zalozenia indukcyjnego mamy
\(\displaystyle{ b_{1}+...+b_{n} q n}\) wiec to stosujemy...