Ostatnio sobie wygrzebałem jedno zadanko z jakiegoś kółka rok temu. Pamiętam, że należało użyć tutaj wielomianów pomocniczych, ale niestety zupełnie zapomniałem jak to ma wyglądać Jeśli ktoś mógłby przedstawić użycie wielomianów pomocniczych na tym przykładzie to byłbym wdzięczny :
\(\displaystyle{ a+b+c=2\\ a^{2}+b^{2}+c^{2}=14 \\ a^{3}+b^{3}+c^{3}=20}\)
Wielomiany pomocnicze w układach równań
-
Piotr Rutkowski
- Użytkownik
- Posty: 2234
- Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 22 razy
- Pomógł: 390 razy
-
andkom
- Użytkownik
- Posty: 636
- Rejestracja: 10 paź 2007, o 12:57
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Pomógł: 350 razy
Wielomiany pomocnicze w układach równań
Ja bym robił tak:
\(\displaystyle{ (x-a)(x-b)(x-c)=x^3-(a+b+c)x^2+(ab+bc+ca)x-abc=\\
=x^3-2x^2+\frac{(a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)}2x-abc=x^3-2x^2-5x-abc=\\
=x^3-2x^2-5x-\frac{(a+b+c)^3+2(a^3+b^3+c^3)-3(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)}6=\\
=x^3-2x^2-5x+6}\)
Zatem a, b oraz c z naszego układu równań są pierwiastkami wielomianu \(\displaystyle{ x^3-2x^2-5x+6}\), czyli (z dokładnością do kolejności) są to liczby -2, 1, 3.
\(\displaystyle{ (x-a)(x-b)(x-c)=x^3-(a+b+c)x^2+(ab+bc+ca)x-abc=\\
=x^3-2x^2+\frac{(a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)}2x-abc=x^3-2x^2-5x-abc=\\
=x^3-2x^2-5x-\frac{(a+b+c)^3+2(a^3+b^3+c^3)-3(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)}6=\\
=x^3-2x^2-5x+6}\)
Zatem a, b oraz c z naszego układu równań są pierwiastkami wielomianu \(\displaystyle{ x^3-2x^2-5x+6}\), czyli (z dokładnością do kolejności) są to liczby -2, 1, 3.
-
Piotr Rutkowski
- Użytkownik
- Posty: 2234
- Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 22 razy
- Pomógł: 390 razy