dwa logarytmy

[Filomc]

mam do obliczenia dwa logarytmy. Proszę o pomoc. \(\displaystyle{ x^{\log _3{3x}}=9}\) oraz

\(\displaystyle{ \log 5+\log (x+10)=1-\log (2x+1)+\log (21x-20)}\)

[Lady Tilly]

chodzi pewnie o \(\displaystyle{ x^{\log _{3}3x}=9}\) czy tak?
wtedy
\(\displaystyle{ \log _{x}9=\log _{3}3x\\
\frac{1}{2}{\cdot}\frac{1}{\log _{3}x}=1+\log _{3}x}\)
podstaw niewiadomą pomocniczą
\(\displaystyle{ t=\log _{3}x}\)

[Szemek]

\(\displaystyle{ \log 5+\log \left( x+10 \right) =1-\log \left( 2x+1 \right) +\log \left( 21x-20 \right)}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x+10>0 \\ 2x+1>0 \\21x-20>0 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x>-10 \\ x>\frac{1}{2} \\x>\frac{20}{21} \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ x \in \left( \frac{20}{21},+\infty \right)}\)
\(\displaystyle{ D_r= \left( \frac{20}{21},+\infty \right)}\) dziedzina równania

\(\displaystyle{ \log 5+\log \left( x+10 \right) =1-\log \left( 2x+1 \right) +\log \left( 21x-20 \right)}\)
\(\displaystyle{ \log \left[ 5\cdot \left( x+10 \right) \right] +\log \left( 2x+1 \right) =1+\log \left( 21x-20 \right)}\)
\(\displaystyle{ \log \left[ 5x+50 \right] +\log \left( 2x+1 \right) =\log 10+\log \left( 21x-20 \right)}\)
\(\displaystyle{ \log \left[ \left( 5x+50 \right) \cdot \left( 2x+1 \right) \right] =\log \left[ 10\cdot \left( 21x-20 \right) \right]}\)
\(\displaystyle{ \log \left( 10x^2+95-50 \right) =\log \left( 210x-200 \right)}\)
z różnowartościowości f. logarytmicznej
\(\displaystyle{ 10x^2+95-50=210x-200}\)
\(\displaystyle{ 10x^2-115x+150=0}\)
\(\displaystyle{ \left( x=1\frac{1}{2}\vee x=10 \right) \wedge x \in D_r}\)
\(\displaystyle{ x \in \left\{ 1\frac{1}{2}, 10 \right\}}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{2}{\cdot}\frac{1}{\log _{3}x}=1+\log _{3}x}\)

wkradł się mały błąd,
moim zdaniem powinno być \(\displaystyle{ 2{\cdot}\frac{1}{\log _{3}x}=1+\log _{3}x}\)

[MaLiN2223]

\(\displaystyle{ \log \left[ \left( 5x+50 \right) \cdot \left( 2x+1 \right) \right] =\log \left[ 10\cdot \left( 21x-20 \right) \right]}\)
\(\displaystyle{ \log \left( 10x^2+95-50 \right) =\log \left( 210x-200 \right)}\)
Chciałem zauważyć iż ten krok jest bardzo niepoprawny ponieważ
\(\displaystyle{ \log \left[ \left( 5x+50 \right) \cdot \left( 2x+1 \right) \right] =\log \left[ \left( 10x^2+105x+50 \right) \right]}\)
Oczywiście rozwiązanie jest dobre ale dlaczego? Dlatego iż autor poprzedniego nie rozwiązał tego sam, jak widzimy Filomc napisał \(\displaystyle{ \left( 2x+1 \right)}\) lecz powinno być \(\displaystyle{ \left( 2x-1 \right)}\)
No i oczywiście założenia:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x>-10 \\ x>- \frac{1}{2} \\x>\frac{20}{21} \end{cases}}\)


I jeśli rozwiążemy to równanie dla
\(\displaystyle{ \log \left( 5 \right) +\log \left( x+10 \right) =1-\log \left( 2x-1 \right) +\log \left( 21x-20 \right)}\)
faktycznie z tego wychodzi :
\(\displaystyle{ \left( 5x+50 \right) \cdot \left( 2x-1 \right) =\log \left( 210x-200 \right)}\)
\(\displaystyle{ 10x^2+95x-50=210x-200}\)
\(\displaystyle{ 10x^2-115x+150=0}\)
\(\displaystyle{ \left( x=1\frac{1}{2}\vee x=10 \right) \wedge x \in D_r}\)
\(\displaystyle{ x \in \left\{ 1\frac{1}{2}, 10 \right\}}\)

Proszę o skorygowanie