podzielność przez 2^8

[janko2]

Dane są dwie liczby naturalne parzyste k i l, które nie są podzielne przez 4. Uzasadnij, że liczba k^4 - l^4jest podzielna przez 2^8.

[Piotr Rutkowski]

Tutaj też zapomniałeś o jakichś warunkach. Weźmy np. \(\displaystyle{ k=2 l=1}\). Wtedy\(\displaystyle{ k^{4}-l^{4}=16-1=15\neq 2^{8}*k}\)

[szablewskil]

polskimisiek zauwaz ze \(\displaystyle{ k}\) i \(\displaystyle{ l}\) są parzyste.

[janko2]

ale k i l maja być naturalne pzzrzyste

[Piotr Rutkowski]

A to sorki, zapomniałem o tym
W takim razie:
\(\displaystyle{ k^{4}-l^{4}=(k^{2}-l^{2})(k^{2}+l^{2})=(k+l)(k-l)(k^{2}+l^{2})}\)
Skoro mamy, że są niepodzielne przez 4, to \(\displaystyle{ k,l=2s \ k=2n+1 k,l=4n+2}\)
Czyli uporządkowując zapisy możemy przyjąć, że:
\(\displaystyle{ k=4q+2}\)
\(\displaystyle{ l=4p+2}\) z tego łatwo udowodnić, że
\(\displaystyle{ 4|(k+l) 4|(k-l) 8|(k^{2}+l^{2}}\)
Hmm, z tego wyszło mi tylko dzielenie przez \(\displaystyle{ 2^{7}}\) No nieważne, ten sposób rozumowania jest z pewnością dobry
Skoro tak, to najłatwiej po prostu podstawić sobie to nasze założenie do równania i wyjdzie nam forma:
\(\displaystyle{ k^{4}-l^{4}=16(q+p+1)(q-p)(2q^{2}+2p^{2}+2p+2q+1)}\) i tu jeszcze należy zauważyć, że:
\(\displaystyle{ 2|(q-p)}\), co kończy zadanie