żS-3, od: szydra, zadanie 1

[Liga]

Dziedziną funkcji \(\displaystyle{ f}\) jest \(\displaystyle{ (0,\infty)}\), a jej pochodna wynosi:

\(\displaystyle{ f'(x)=2Ax+1+\frac{B}{x}}\)

a. Z warunku \(\displaystyle{ f(1)=2}\) mamy \(\displaystyle{ A+1=2}\), skąd \(\displaystyle{ A=1}\). Zaś z \(\displaystyle{ f'(1)=4}\) wynika, że \(\displaystyle{ 3+B=4}\), czyli \(\displaystyle{ B=1}\).
b. Funkcja \(\displaystyle{ f}\) ma ekstrema w punktach \(\displaystyle{ x=1}\) oraz \(\displaystyle{ x=2}\), więc liczby 1 i 2 są miejscami zerowymi \(\displaystyle{ f'}\):
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2A+1+B=0\\4A+1+\frac{B}{2}=0\end{cases} \iff \begin{cases} A=-\frac{1}{6}\\B=-\frac{2}{3}\end{cases}}\)
Dla tych wartości \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) mamy:
\(\displaystyle{ f'(x)=-\frac{1}{3}x+1-\frac{2}{3x} = -\frac{x^2-3x+2}{3x} = -\frac{(x-1)(x-2)}{3x}}\)
Stąd widzimy, że \(\displaystyle{ f'}\) zmienia znak w punktach \(\displaystyle{ x=1}\) oraz \(\displaystyle{ x=2}\) czyli ma w tych punktach ekstrema.
c. Aby \(\displaystyle{ f}\) była rosnąca w dziedzinie, dla \(\displaystyle{ x>0}\) musi być spełniona nierówność \(\displaystyle{ f'(x)=2Ax+1+\frac{B}{x}\geqslant 0}\). Zauważmy, że nierówność ta jest spełniona jeśli \(\displaystyle{ A\geqslant 0}\) i \(\displaystyle{ B\geqslant 0}\). Wykażemy, że są to jedyne wartości o żądanej własności. Istotnie, gdyby \(\displaystyle{ A}\)

[scyth]

spoko, 6/6

[scyth]

po namyśle jednak ucinam punkt za brak uzasadnienia stwierdzenia:

Aby \(\displaystyle{ f}\) była rosnąca w dziedzinie, dla \(\displaystyle{ x>0}\) musi być spełniona nierówność \(\displaystyle{ f'(x)=2Ax+1+\frac{B}{x}\geqslant 0}\). Zauważmy, że nierówność ta jest spełniona jeśli \(\displaystyle{ A\geqslant 0}\) i \(\displaystyle{ B\geqslant 0}\)

5/6