Podzielność przez 30 ?
- matekleliczek
- Użytkownik
- Posty: 252
- Rejestracja: 23 gru 2005, o 11:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: gdańsk
- Podziękował: 36 razy
- Pomógł: 17 razy
Podzielność przez 30 ?
wykaż że dla każdej liczby naturalnej n liczb\(\displaystyle{ n^5-n}\)jest podzielna przez 30
kongruencją mi się udało ale prosiłbym o klasyczne rozwiązanie również
W temacie nie umieszczaj wyrażeń matematycznych.
luka52
kongruencją mi się udało ale prosiłbym o klasyczne rozwiązanie również
W temacie nie umieszczaj wyrażeń matematycznych.
luka52
Ostatnio zmieniony 13 paź 2007, o 17:04 przez matekleliczek, łącznie zmieniany 1 raz.
- kuma
- Użytkownik
- Posty: 259
- Rejestracja: 16 sie 2007, o 22:03
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 70 razy
Podzielność przez 30 ?
\(\displaystyle{ n^{5}-n=n(n^{4}-1)=n*(n^{2}-1)(n^{2}+1)=n*(n-1)(n+1)(n^{2}+1)}\)
\(\displaystyle{ n*(n-1)(n+1)}\) - trzy kolejne liczby czyli podzielne na 6 (2*3=6) i dodatkowo za n wstawiamy 5 przypadków n=5, n=5k+1, n=5k+2, n=5k+3, n=5k+4 i tak udowadniamy podzielonśc na 5 2*3*5=30
\(\displaystyle{ n*(n-1)(n+1)}\) - trzy kolejne liczby czyli podzielne na 6 (2*3=6) i dodatkowo za n wstawiamy 5 przypadków n=5, n=5k+1, n=5k+2, n=5k+3, n=5k+4 i tak udowadniamy podzielonśc na 5 2*3*5=30
- matekleliczek
- Użytkownik
- Posty: 252
- Rejestracja: 23 gru 2005, o 11:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: gdańsk
- Podziękował: 36 razy
- Pomógł: 17 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 8601
- Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 47 razy
- Pomógł: 1816 razy
Podzielność przez 30 ?
kuma, jakie 5 przypadków :O
Wystarczy:
\(\displaystyle{ (n-1)n(n+1)(n^2 + 1) = (n-1)n(n+1)(n^2 - 4 + 5) =\\ = 5 (n-1)n(n+1) + (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)}\)
I stąd już wszystko jasne...
Wystarczy:
\(\displaystyle{ (n-1)n(n+1)(n^2 + 1) = (n-1)n(n+1)(n^2 - 4 + 5) =\\ = 5 (n-1)n(n+1) + (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)}\)
I stąd już wszystko jasne...
- matekleliczek
- Użytkownik
- Posty: 252
- Rejestracja: 23 gru 2005, o 11:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: gdańsk
- Podziękował: 36 razy
- Pomógł: 17 razy
Podzielność przez 30 ?
faktycznie święta racjaluka52 pisze:kuma, jakie 5 przypadków :O
Wystarczy:
\(\displaystyle{ (n-1)n(n+1)(n^2 + 1) = (n-1)n(n+1)(n^2 - 4 + 5) =\\ = 5 (n-1)n(n+1) + (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)}\)
I stąd już wszystko jasne...
Podzielność przez 30 ?
Witam
Nie rozumiem tej ostatniej linijki
\(\displaystyle{ + (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)}\)
skąd tu się wzięło "dodatkowe" \(\displaystyle{ (n-1)(n+1)}\) ?
Pozdrawiam
Nie rozumiem tej ostatniej linijki
\(\displaystyle{ + (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)}\)
skąd tu się wzięło "dodatkowe" \(\displaystyle{ (n-1)(n+1)}\) ?
Pozdrawiam
Podzielność przez 30 ?
\(\displaystyle{ 5 (n-1)n(n+1)}\) tu tak, ale są jeszcze przy \(\displaystyle{ (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)}\) więc skąd te drugie \(\displaystyle{ (n-1)n(n+1)}\) ?
- Althorion
- Użytkownik
- Posty: 4541
- Rejestracja: 5 kwie 2009, o 18:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 662 razy
Podzielność przez 30 ?
Rozbito \(\displaystyle{ (n-1)n(n+1)(n^2 - 4 + 5)}\):
\(\displaystyle{ \ldots = (n-1)n(n+1)(n^2 - 4) + (n-1)n(n+1)5 = 5 (n-1)n(n+1) + (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)}\)
\(\displaystyle{ \ldots = (n-1)n(n+1)(n^2 - 4) + (n-1)n(n+1)5 = 5 (n-1)n(n+1) + (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 405
- Rejestracja: 24 lip 2012, o 23:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hmm ?
- Podziękował: 147 razy
- Pomógł: 2 razy
Podzielność przez 30 ?
... ie_Fermata
z małego twierdzenia fermata stwierdzamy podzielność przez \(\displaystyle{ 5}\)
teraz wystarczy, że udowodnimy podzielność przez \(\displaystyle{ 6}\)
\(\displaystyle{ n^5 - n = n (n^4 -1) = n(n^2+1)(n^2-1) = (n-1)(n)(n+1)(n^2+1)}\)
są tam trzy kolejne liczby, zatem są podzielne przez \(\displaystyle{ 2}\) i \(\displaystyle{ 3}\)
zatem też przez \(\displaystyle{ 6}\)
i tyle.
z małego twierdzenia fermata stwierdzamy podzielność przez \(\displaystyle{ 5}\)
teraz wystarczy, że udowodnimy podzielność przez \(\displaystyle{ 6}\)
\(\displaystyle{ n^5 - n = n (n^4 -1) = n(n^2+1)(n^2-1) = (n-1)(n)(n+1)(n^2+1)}\)
są tam trzy kolejne liczby, zatem są podzielne przez \(\displaystyle{ 2}\) i \(\displaystyle{ 3}\)
zatem też przez \(\displaystyle{ 6}\)
i tyle.