żS-3, od: Sylwek, zadanie 3

[Liga]

Rysunek pomocniczy:
i20.tinypic. com/2nm16k5.png

Wiemy, że:
\(\displaystyle{ \begin{cases}r^2+h^2=l^2 \\ V=\frac{1}{3} \pi r^2h\end{cases} \\ \mathbb{D}: \ h (0, 2) \ (dm)}\)

Z pierwszego równania wyznaczamy kwadrat promienia i wstawiamy do drugiego:
\(\displaystyle{ r^2=l^2-h^2 \\ V=\frac{1}{3} \pi (l^2-h^2)h=-\frac{1}{3} \pi h^3+ \frac{1}{3} \pi l^2 h}\)

Podstawiam l=2, a końcowy wynik podam w decymetrach. Niech poza tym f(h)=V:
\(\displaystyle{ V=f(h)=-\frac{1}{3} \pi h^3 + \frac{4}{3} \pi h}\)

Wtedy:
\(\displaystyle{ f'(h)=- \pi h^2+\frac{4}{3} \pi}\)

Funkcja osiąga wartości ekstremalne, gdy pochodna jest równa zero. Skoro wykres pochodnej jest parabolą o ujemnym współczynniku kierunkowym, to szukanym maksimum lokalnym będzie wartość ekstremalna o większej wartości:

\(\displaystyle{ f'(h)=0 \iff -\pi h^2+\frac{4}{3}\pi=0 \\ 3h^2-4=0 \\ h^2=\frac{4}{3} \\ h_{1}=-\frac{2\sqrt{3}}{3} h_{2}=\frac{2\sqrt{3}}{3}}\)

Więc \(\displaystyle{ h_{2}}\) jest poszukiwanym maksimum lokalnym, a że ta wartość należy do dziedziny, to zadanie jest zakończone.

Odpowiedź: \(\displaystyle{ V=V_{max} \iff h=\frac{2\sqrt{3}}{3} \ (dm)}\)

[scyth]

i tu 4/4

[mol_ksiazkowy]

tak , dziedzine podał, i bez zastzrezen

[Tristan]

Również 4/4.