żS-3, od: luka52, zadanie 2

[Liga]

Na początku chciałbym zauważyć, iż w treści zadania powinno być \(\displaystyle{ n \mathbb{N}_+}\), gdyż jak nie trudno sprawdzić, dla n=0 uzyskujemy sprzeczność.

Spr. dla \(\displaystyle{ n_0 = 1}\):
\(\displaystyle{ m_1 = 3^{2 + 1} + 40 - 67 = 67 - 67 = 0 0|64 T(n_0 = 1)}\)
Zał.
\(\displaystyle{ T(k): \ 3^{2k+1} + 40k - 67 = 64s, s \mathbb{C}}\)
Teza
\(\displaystyle{ T(k+1): \ 3^{2(k+1) + 1} + 40 (k+1) - 67 = 64p, p \mathbb{C}}\)
Dowód
\(\displaystyle{ L_T = 3^{2(k+1) + 1} + 40 (k+1) - 67 = 3^{2k + 3} + 40k - 27 = \\
= 9 (3^{2k + 1} + 40k - 67) - 360k + 9 67 + 40k - 27 = \\
= 9 64s - 320 k + 576 = 9 64s - 5 64k + 9 64 = \\
= 64 ( 9s - 5k + 9 ) = 64p = P_T}\)
W ten sposób podzielność liczby \(\displaystyle{ m_n}\) przez 64 została udowodniona na podstawie indukcji matematycznej.

Gdy n jest nieparzyste, tj. \(\displaystyle{ n = (2k+1), \ \ k \mathbb{N}}\) to:
\(\displaystyle{ m_n = 3^{4k + 3} + 80k + 40 - 67 = 27 3^{4k} + 80k - 27}\)

Podzielność liczby 80k przez 5 jest oczywista, znajdujemy następnie, że
\(\displaystyle{ 3^4 \equiv 1 od 5\\
3^{4k} \equiv 1 od 5\\
27 3^{4k} \equiv 27 od 5\\
27 3^{4k} - 27 \equiv 0 od 5}\)
stąd liczba \(\displaystyle{ 27 3^{4k} + 80k - 27}\) jest przez 5 podzielna.

[mol_ksiazkowy]

daje maxa, chco z tym .. n=0 to chyba przesada ?!

[bolo]

luka52 zasygnalizował mi, że zadanie dla \(\displaystyle{ n=0}\) średnio ma sens, w ostatnim momencie dla uniknięcia kontrowersji zmieniłem na naturalne dodatnie.

[scyth]

-64 jest podzielne przez 64, więc chyba się zagalopował...

za zadanie 5/5?

[mol_ksiazkowy]

5 pkt

[Tristan]

5/5.