żS-3, od: luka52, zadanie 1

[Liga]

a)
Wyznaczamy stałe A i B z warunków zadania
\(\displaystyle{ f(1) = 2 \iff A + 1 + B \cdot 0 = 2 \iff A = 1\\
f'(x) = 2Ax + 1 + \frac{B}{x} \ \ \mbox{i} \ \ A = 1 \Rightarrow f'(x) = 2x + 1 + \frac{B}{x}\\
f'(1) = 4 \iff 2 + 1 + \frac{B}{1} = 4 \iff B = 1}\)
Stąd (A,B)=(1,1).

b)
Przyrównujemy pochodne w danych punktach do zera
\(\displaystyle{ f'(1) = 0 \ \mbox{i} \ f'(2) = 0 \iff \begin{cases} 2A + 1 + \frac{B}{1} = 0 \\ 4A + 1 + \frac{B}{2} = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} A = - \frac{1}{6} \\ B = - \frac{2}{3} \end{cases}}\)
Następnie obliczamy drugą pochodną:
\(\displaystyle{ f''(x) = 2 A - \frac{B}{x^2}}\)
A następnie sprawdzamy, czy rzeczywiście dla wyliczonych wartości A i B w danych punktach funkcja osiąga ekstremum:
\(\displaystyle{ f''(1) = \frac{1}{3} \neq 0, \quad f''(2) = - \frac{1}{6} \neq 0}\)
Rzeczywiście, dla wyliczonych wartości A i B funkcja f osiąga w danych punktach ekstremum.

c)
By funkcja była rosnąca w dziedzinie, musi być:
\(\displaystyle{ \forall_{x \in (0; +\infty)} f'(x) \geqslant 0}\)
Należy zatem rozwiązać nierówność:
\(\displaystyle{ 2Ax + 1 + \frac{B}{x} \geqslant 0 \Rightarrow \frac{2Ax^2 + x + B}{x} \geqslant 0}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ \forall_{x \in (0; +\infty)} x \geqslant 0}\), wystarczy rozważyć nierówność:
\(\displaystyle{ 2Ax^2 + x + B \geqslant 0}\)
Rozpatrzmy dwa przypadki:

1° Nierówność jest liniowa
tj. A = 0, wtedy oczywiste jest, że B ≥ 0.

2° Nierówność jest kwadratowa
wtedy:
a) A > 0 i Δ>0
\(\displaystyle{ \Delta > 0 \iff 1 - 8AB > 0 B < \frac{1}{8A}}\)

b) A > 0 i Δ≤0 i \(\displaystyle{ x_1, x_2 \leqslant 0}\)
\(\displaystyle{ \Delta \leqslant 0 \iff 1 - 8AB \leqslant 0 \Rightarrow B \geqslant \frac{1}{8A}}\)
i
\(\displaystyle{ x_1 x_2 \geqslant 0 \Rightarrow \frac{B}{2A} \geqslant 0 \Rightarrow B \geqslant 0}\)
i
\(\displaystyle{ x_1 + x_2 \leqslant 0 \Rightarrow \frac{-1}{2A} \leqslant 0 \Rightarrow A > 0}\)

Ostatecznie z 1° i 2° wynika, że \(\displaystyle{ A qslant 0 \ \mbox{i} \ B qslant 0}\)

[scyth]

a) 2 pkt.
b) 2 pkt.
c) 2 pkt.

6/6

[mol_ksiazkowy]

no tez tak dał bym

[Tristan]

Również 6/6.