Granica ciągu

[magdabp]

\(\displaystyle{ (a) \lim_{n \to +\infty} \frac{x^n}{1+x^n}}\), \(\displaystyle{ x -1}\)

\(\displaystyle{ (b) \lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{1+x^n}}\), \(\displaystyle{ x R}\)

[soku11]

\(\displaystyle{ (b) \lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{1+x^n}
\lim_{n \to +\infty} (1+x^n)^{\frac{1}{n}}=
\lim_{n \to +\infty} e^{ln(1+x^n)\cdot\frac{1}{n}}=
e^{\lim_{n \to +\infty} \frac{ln(1+x^n)}{n}}\\
\lim_{n \to +\infty} \frac{ln(1+x^n)}{n}=H=
\lim_{n \to +\infty} \frac{x^nln n}{1+x^n}=H=
\lim_{n \to +\infty} \frac{x^nln^2 n+x^n\frac{1}{n}}{x^nln n}=
\lim_{n \to +\infty} \frac{ln^2 n+\frac{1}{n}}{ln n}=H=
\lim_{n \to +\infty} \frac{2ln n\frac{1}{n}-\frac{1}{n^2}}{\frac{1}{n}}=
\lim_{n \to +\infty} (2 ln n-\frac{1}{n})=+\infty\\
e^{+\infty}=+\infty}\)

POZDRO

[luka52]

Odnośnie b) ja bym raczej powiedział, że:
\(\displaystyle{ x \longleftarrow \sqrt[n]{x^n} < \sqrt[n]{1+x^n} < \sqrt[n]{2 x^n } \longrightarrow x}\)

[soku11]

Heh... A gdzie blad w moim rozumowaniu??

a) bym zrobil tak:
- dla x>1
\(\displaystyle{ \lim_{n \to +\infty} \frac{x^n}{1+x^n}=
\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{\frac{1}{x^{n}}+1}=1}\)
- dla x=1
\(\displaystyle{ \lim_{n\to+\infty} \frac{1^n}{1+1^n}=1\\}\)
-dla x=0
\(\displaystyle{ \lim_{n\to+\infty} \frac{0}{1}=0\\}\)
-dla -1

[Piotr Rutkowski]

jeszcze co do a) należy zaznaczyć, że wykonując taką operację zakładasz, że \(\displaystyle{ \lim_{n \to +\infty} x^{n}=+\infty}\), a wcale tak nie musi być. Należy tu rozważyć kilka przypadków:
-\(\displaystyle{ x=0}\)
-\(\displaystyle{ x=1}\)
-\(\displaystyle{ x\in (-1,1)}\)
-pozostałe iksy

[luka52]

Heh... A gdzie blad w moim rozumowaniu??

Ot przy pierwszym korzystaniu z delopitala źle obliczyłeś pochodną.

[magdabp]

Wow!! dzięki wielkie za odpowiedzi...