zadania z parametrem

[xxxxx]

1. Dla jakich wartości paramteru m suma kwadratów pierwiastków rzeczywistych równania
x�+(m-3)x+(m-5)=0 jest najmniejsza?

2. Dla jakiej wartości parametru m odwrotność sumy kwadratów pierwiastków rzeczywistych równania x�-mx+2m-5=0 jest największa?

3. Dla jakich wartości parametru k równanie x�-2mx+(2m-k)=0 ma dwa pierwiastki rzeczywiste dla każdej liczby rzeczywistej m?

4. Dla jakich wartości parametru m pierwiastki równania 5x�-5(m-1)+6m=0 są odpowiednio sinusem i cosinusem tego samego kąta ostrego? (jeśli ktoś wie, jak rozwiązać to zadanie, to proszę o w miarę dokładne objaśnienia)

[Lorek]

1. Najpierw w ogóle muszą być pierwiastki, czyli \(\displaystyle{ \Delta\geq 0}\). Teraz z wz. Viete'a masz
\(\displaystyle{ x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=(m-3)^2-2(m-5)=m^2-8m+19}\)
masz nową funkcję, jakąś \(\displaystyle{ s(m)=m^2-8m+19}\)
i znajdujesz jej najmniejszą wartość (+ oczywiście warunek z delty)

2. jw.

3. Liczysz deltę i masz... wyrażenie z podobne do funkcji kwadratowej Traktujesz to jako funkcję ( w zal. od m) i z warunków musi ona przyjmować tylko wartości dodatnie dla każdego k.

4. Wsk. jedynka trygonometryczna.

[xxxxx]

Ok, ale rozpisz mi 1 do końca jesli mozesz, bo nie wiem o co ci chodzi- mam znalezc ekstremum?. a co do 4 to wskazowka: 1 trygonometryczna nic mi nie daje bo juz tak probowalam cos kombinowac i nie wiem, jesli ty wiesz to prosze o pomoc tzn przynajmniej zacznij mi to rozwiazywac...

[Lorek]

W 1 chodzi o wyznaczenie ekstremum, ale! tego z przedziału gdzie \(\displaystyle{ \Delta \geq 0}\). I mamy
\(\displaystyle{ \Delta=(m-3)^2-4(m-5)=m^2-10m+29=(m-5)^2+4}\)
czyli jak widać zawsze większa od 0. Teraz szukamy dla jakiego m funkcja
\(\displaystyle{ s(m)=m^2-8m+19}\) przyjmuje najmniejszą wartość (bo o to chodzi w zadaniu). \(\displaystyle{ s(m)=m^2-8m+19=\min\iff m=4}\)
4.
\(\displaystyle{ x_1=\sin \varphi,\; x_2=\cos \varphi\\ \sin^2\varphi+\cos^2\varphi=1\\x_1^2+x_2^2=1}\)
i Viete.
A i skoro kąt jest ostry to \(\displaystyle{ x_1>0 \;\wedge\; x_2>0}\)