Każda z 5 początkowych cyfr liczby sześciocyfrowej podzielnej przez 7 jest równa \(\displaystyle{ a}\), zaś cyfra jedności równa jest \(\displaystyle{ b}\) i \(\displaystyle{ b}\) jest różne od \(\displaystyle{ a}\). Jaki warunek spełniają cyfry \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\)? Odpowiedź uzasadnij.
[ Dodano: 7 Października 2007, 13:55 ]
Czy wie ktoś jak to zrobić?
podzielność liczby sześciocyfrowej przez 7
-
kuch2r
- Użytkownik
- Posty: 2302
- Rejestracja: 18 paź 2004, o 18:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław/Ruda Śląska
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 408 razy
podzielność liczby sześciocyfrowej przez 7
Niech:
\(\displaystyle{ A=\overline{aaaaab}}\), gdzie \(\displaystyle{ a\neq b}\)
Inaczej:
\(\displaystyle{ A=10^5a+10^4a+10^3a+10^2a+10a+b}\)
Wiemy, ze:
\(\displaystyle{ 7|A}\)
Stad:
\(\displaystyle{ 10^5a+10^4a+10^3a+10^2a+10a+b\equiv 0 \mod{7}}\)
Dalej:
\(\displaystyle{ 10^5\equiv -2 \mod{7}\\10^4\equiv -3 \mod{7}\\10^3\equiv -1 \mod{7}\\10^2\equiv 2 \mod{7}\\10\equiv 3 \mod{7}}\)
Ponadto:
\(\displaystyle{ 10^5a+10^4a+10^3a+10^2a+10a+b\equiv 0 \mod{7}\\
-2a-3a-a+2a+3a+b\equiv 0 \mod{7}\iff a\equiv b \mod{7}}\)
Rozwazajac ostatnio kongruencje przy uwzglednieniu poczatkowego warunku \(\displaystyle{ a\neq b}\), otrzymujemy nastepujace pary: \(\displaystyle{ (9,2),(2,9),(8,1),(1,8)}\)
\(\displaystyle{ A=\overline{aaaaab}}\), gdzie \(\displaystyle{ a\neq b}\)
Inaczej:
\(\displaystyle{ A=10^5a+10^4a+10^3a+10^2a+10a+b}\)
Wiemy, ze:
\(\displaystyle{ 7|A}\)
Stad:
\(\displaystyle{ 10^5a+10^4a+10^3a+10^2a+10a+b\equiv 0 \mod{7}}\)
Dalej:
\(\displaystyle{ 10^5\equiv -2 \mod{7}\\10^4\equiv -3 \mod{7}\\10^3\equiv -1 \mod{7}\\10^2\equiv 2 \mod{7}\\10\equiv 3 \mod{7}}\)
Ponadto:
\(\displaystyle{ 10^5a+10^4a+10^3a+10^2a+10a+b\equiv 0 \mod{7}\\
-2a-3a-a+2a+3a+b\equiv 0 \mod{7}\iff a\equiv b \mod{7}}\)
Rozwazajac ostatnio kongruencje przy uwzglednieniu poczatkowego warunku \(\displaystyle{ a\neq b}\), otrzymujemy nastepujace pary: \(\displaystyle{ (9,2),(2,9),(8,1),(1,8)}\)
-
andkom
- Użytkownik
- Posty: 636
- Rejestracja: 10 paź 2007, o 12:57
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Pomógł: 350 razy
podzielność liczby sześciocyfrowej przez 7
No to inaczej:
Nasza liczba \(\displaystyle{ \overline{aaaaab}}\) jest równa
\(\displaystyle{ a\cdot111110+b=a\cdot111111+(b-a)=a\cdot7\cdot15873+(b-a)}\)
i jest podzielna przez 7, gdy b-a dzieli się przez 7.
Stąd dostajemy wyniki
999992,
222229,
888881,
111118
oraz 777770 (ta ostatnia możliwość umknęła kuch2rowi).
Nasza liczba \(\displaystyle{ \overline{aaaaab}}\) jest równa
\(\displaystyle{ a\cdot111110+b=a\cdot111111+(b-a)=a\cdot7\cdot15873+(b-a)}\)
i jest podzielna przez 7, gdy b-a dzieli się przez 7.
Stąd dostajemy wyniki
999992,
222229,
888881,
111118
oraz 777770 (ta ostatnia możliwość umknęła kuch2rowi).