Udowodnić prawdopodobieństwa zdarzeń

[Adi1986]

Witam,

Nie moge sobie poradzic z dwoma zadankami z prawdopodobienstwa.a goscia na cwiczeniach mamy wymagajacego:/.Bardzo prosze o pomoc w rozwiazaniu.Bede bardzo wdzieczny.Probowalem cos rozwiazywac,ale cos mi nie wychodzi tak jak powinno. Oto zadanka:

1. Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ P(A)=a}\) i \(\displaystyle{ P(B)=b}\), to \(\displaystyle{ P(A/B)\geq \frac{a+b-1}{b}}\).

2. Jednoczesne zajście zdarzeń \(\displaystyle{ A_1}\) oraz \(\displaystyle{ A_2}\) pociąga za sobą zajście zdarzenia A. Udowodnić, że: \(\displaystyle{ P(A) q P(A_1)+P(A_2)-1}\), przy czym równość zachodzi w szczególnym przypadku, gdy A=A1A2.

Bardzo proszę o pomoc.

[abrasax]

zad 1
\(\displaystyle{ P(A/B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}}\)
\(\displaystyle{ P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)}\)
\(\displaystyle{ P(A \cap B)=P(A)+P(B)-P(A \cup B)}\)
\(\displaystyle{ A \cup B \Omega}\)
\(\displaystyle{ P(A \cup B) q P(\Omega)}\)
\(\displaystyle{ P(A \cup B) q 1}\)

\(\displaystyle{ P(A \cap B)=P(A)+P(B)-P(A \cup B) q P(A)+P(B)-1}\)

[Adi1986]

dziekuje bardzo za pomoc,poczatek(dwie linijki zadania mialem dobrze,pozniej skopalem) jeszcze raz dziekuje.
Teraz jeszcze bym prosił w rozwiazaniu drugiego zadania,bo siedze i mysle i nic nie moge wymyslec. :/

[abrasax]

A=A1A2

sprecyzuj warunek w zadaniu:
\(\displaystyle{ A_1 \cup A_2}\) czy \(\displaystyle{ A_1 \cap A_2}\) ?

\(\displaystyle{ A_1 \cap A_2 A}\)
dalej spróbuj analogicznie do zad 1

[Adi1986]

w tresci zadnia mam A=A1A2, ale wydaje mi sie ze powinno byc AcA1uA2,
probowalem robic to ale sie w tym gubie

ps. a myslalem ze Analiza matematyczna to cos ciezkiego, a tu prawdpodobienstwo to koszmar.

[ Dodano: 11 Października 2007, 15:06 ]
teraz tak wpadlem na pewien pomysl,prosze skorygowac:

zalozenie jest takie A c A1uA2, czyli P(A)=P(AuB)??

jesli tak to zrobilem takie cos:

P(A)>=P(A1)+P(A2)-1
P(A1uA2)>=P(A1)+P(A2)-1
P(A)+P(B)-P(AnB)>=P(A1)+P(A2)-1

i dalej nie wiem jak...

[ Dodano: 11 Października 2007, 18:35 ]
czy dobrze robie to zadanie drugie, bo cos mi sie wydaje ze nei bardzo,
bardzo prosze o pomoc.

[abrasax]

Jednoczesne zajście zdarzeń A_1 oraz A_2 pociąga za sobą zajście zdarzenia A

czyli \(\displaystyle{ A_1 \cap A_2 A}\)

\(\displaystyle{ P(A) q P(A_1 \cap A_2) =P(A_1)+P(A_2)-P(A_1 \cup A_2) q P(A_1)+P(A_2)-1}\)

co do tej równości, to będzie problem, bo z zapisu A=A1A2 nic nie wynika...

może ktoś inny coś podpowie

[ Dodano: 12 Października 2007, 09:39 ]
zapis \(\displaystyle{ A=A_1A_2}\) będzie zapewne oznaczał \(\displaystyle{ A=A_1 \cap A_2}\) co daje równość \(\displaystyle{ P(A)=P(A_1 \cap A_2)}\)
jak się pozbyć drugiej nierówności niestety nie mam pomysłu

[Adi1986]

oki juz udalo mi sie zrobic to drugie zadanie.
Bardzo dziekuje za pomoc!!!

[Sir George]

Wydaje mi się, że warunek na równość, to \(\displaystyle{ A\, \, A_1\cup A_2}\)
Przechodząc do zdarzeń przeciwnych dostajemy wówczas \(\displaystyle{ A_1'\cap A_2'\, \, a'}\), co daje (dzięki pokazanej dopiero co nierówności):
\(\displaystyle{ P(A')\, \, P(A_1') + P(A_2')-1}\)
Korzystając teraz z równości \(\displaystyle{ P(X')=1-P(X)}\) dostajemy nierówność przeciwną:
\(\displaystyle{ P(A)\, \, P(A_1) + P(A_2)-1}\)

Pozdrawiam