ciąg arytmetyczny

[majkel4]

Dla jakiej wartości \(\displaystyle{ n}\) współczynniki \(\displaystyle{ 2,3,4}\) wyrazu rozwinięcia \(\displaystyle{ (a+b)^n}\) tworzą ciąg arytmetyczny?

[Sylwek]

Drugi współczynnik to: \(\displaystyle{ {n\choose 1}}\), trzeci to: \(\displaystyle{ {n\choose 2}}\), czwarty: \(\displaystyle{ {n\choose 3}}\). Skoro te wyrazy tworzą ciąg arytmetyczny, to:

\(\displaystyle{ 2 {n\choose 2}={n\choose 1}+{n\choose 3}, \ n q 3 \\ \frac{2 n!}{2!(n-2)!}=\frac{n!}{1!(n-1)!}+\frac{n!}{3!(n-3)!} \\ \frac{n(n-1)(n-2)!}{(n-2)!}=\frac{n(n-1)!}{(n-1)!}+\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)!}{6(n-3)!} \\ n(n-1)=n+\frac{n(n-1)(n-2)}{6} \\ 6n(n-1)=6n+n(n-1)(n-2)}\)

A to już jest proste do rozwiązania . Wychodzi:
\(\displaystyle{ n=0 n=2 n=7}\)

Ale, że n jest co najmniej trójką, to w ostateczności n=7

[majkel4]

dzięki