Obwód i pole trójkąta.

[Piggy]

Witam!

(Jeśli temat jest w złym miejscu to najmocniej przepraszam )
Mam takie zadanie:
"W trójkącie równobocznym ABC o długości boku 4 połączono środki boków \(\displaystyle{ A_{1}}\) \(\displaystyle{ B_{1}}\) \(\displaystyle{ C_{1}}\). Oblicz obwód i pole trójkąta \(\displaystyle{ A_{1}}\) \(\displaystyle{ B_{1}}\) \(\displaystyle{ C_{1}}\).

Piggy

[Dargi]

Piggy, zauważ że: powstanie również trójkąt równoboczny \(\displaystyle{ A_1B_1C_1}\)

No ale następuje pytanie jak to udowodnić otóż tak:
Zakładamy że \(\displaystyle{ a=4}\)
widać że:\(\displaystyle{ \Delta ABC\sim \Delta B'C'C}\)
Więc możemy śmiało napisać że:
\(\displaystyle{ \frac{b}{\frac{1}{2}a}=\frac{a}{a}\iff b=\frac{1}{2}a}\)
Robi tak z kolejnymi trójkątami:
\(\displaystyle{ \Delta ABC\sim \Delta AA'B'}\)
więc zachodzi stosunek:
\(\displaystyle{ \frac{d}{\frac{1}{2}a}=\frac{a}{a}\iff d=\frac{1}{2}a}\)
\(\displaystyle{ \Delta ABC\sim \Delta A'BC}\)
więc zachodzi stosunek:
\(\displaystyle{ \frac{c}{\frac{1}{2}a}=\frac{a}{a}\iff c=\frac{1}{2}a}\)
Z tego wychodzi nam że trójkąt jest równoboczny więc:
\(\displaystyle{ b=c=d=\frac{1}{2}a}\)
Pole to nic innego jak\(\displaystyle{ S=\frac{x^2\sqrt{3}}{4}}\)
Gdzie \(\displaystyle{ x=\frac{1}{2}a}\)
Więc podstawiamy:
\(\displaystyle{ S=\frac{(\frac{1}{2}a)^2\sqrt{3}}{4}}\)
\(\displaystyle{ S=\frac{\frac{1}{4}a^2 \sqrt{3}}{4}}\)
\(\displaystyle{ S=\frac{a^2\sqrt{3}}{8}}\)
Tylko podstawić wartość liczbową należy.