luka52 pisze:Niech \(\displaystyle{ l}\) oznacza tworzącą stożka, \(\displaystyle{ h}\) jego wysokość, a \(\displaystyle{ r}\) promień podstawy.
Powyższe wielkości są ze sobą powiązane wzorem:
\(\displaystyle{ l^2 = r^2 + h^2 \quad (*)}\)
Objętość lejka wynosi:
\(\displaystyle{ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{\pi}{3} (l^2 - h^2) h}\)
gdzie \(\displaystyle{ r^2}\) wyliczyliśmy z równania (*).
Obierając teraz funkcję V argumentu h - zależność objętości od wysokości leja, szukamy dla jakiego argumentu funkcja V osiąga ekstremum (a konkretniej maksimum).
Obliczamy pochodną V':
\(\displaystyle{ \frac{\mbox{d}V}{\mbox{d}h} = \frac{\pi}{3} \left( (l^2 - h^2) h \right)' = \frac{\pi}{3} \left( l^2 - 3h^2 \right)}\)
Wyznaczamy punkty stajonarne:
\(\displaystyle{ V' = 0 \iff h = \pm \frac{l \sqrt{3}}{3}}\)
Ponieważ sens ma jedynie takie h, że h>0 i w punkcie \(\displaystyle{ h = \frac{l \sqrt{3}}{3}}\) pochodna zmienia znak z + na -, znajdujemy że szukana wysokość stożka winna wynosić:
\(\displaystyle{ h = \frac{l \sqrt{3}}{3} = \frac{2 \sqrt{3}}{3} \approx 1.15 \ (\mbox{dm})}\)
żS-3, od: luka52, zadanie 3
-
- Gość Specjalny
- Posty: 168
- Rejestracja: 29 wrz 2006, o 18:17
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Forum Matematyka.pl
żS-3, od: luka52, zadanie 3
Ostatnio zmieniony 17 paź 2007, o 00:15 przez Liga, łącznie zmieniany 1 raz.
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11402
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
żS-3, od: luka52, zadanie 3
nop wszystko fajnie, i super, ale brak dziedziny D, funkcji V i odnotowania, ze znaleziony punkt ekstremalny do niej nalezy, wg mnie za to 1 pkt trza zabrac!