dowodzenie praw

[invx]

wykaż że:

A c B => A = B(BA)

i trzeba to udowodnic stosujac logike


wychhodzi mi tak:

x e B - zdanie p
x e A - zdanie q

(p => q) => p q ^~(q^~p)

no i sprawdzajac powyzsza tautologie - wychodzi ze nie jest ona tautologia - wiec cos jest zle ...

[Jan Kraszewski]

wykaż że:
A c B => A = B(BA)
i trzeba to udowodnic stosujac logike
wychodzi mi tak:
x e B - zdanie p
x e A - zdanie q

(p => q) => p q ^~(q^~p)

no i sprawdzajac powyzsza tautologie - wychodzi ze nie jest ona tautologia - wiec cos jest zle ...

1. Chyba
x e A - zdanie p
x e B - zdanie q
2. Brakuje nawiasu:
(p => q) => (p q ^~(q^~p))
3. Powyższe zdanie jest tautologią - źle sprawdziłeś.
JK

[invx]

hmm - a czemu ten nawias tak ... dziwnie ?

jest takie cos A c B => A = B(BA)

i znak - zastepuje znak = - dobrze rozumuje ?

no to tak jak gdyby byly dwie strony L i P ? - i L ma sie rownac P ?

rozumuje tak:

L - A c B => A czyli (p => q) => p
P - B(BA) czyli q ^~(q^~p)

[Jan Kraszewski]

hmm - a czemu ten nawias tak ... dziwnie ?
jest takie cos A c B => A = B(BA)
i znak - zastepuje znak = - dobrze rozumuje ?
no to tak jak gdyby byly dwie strony L i P ? - i L ma sie rownac P ?
rozumuje tak:

L - A c B => A czyli (p => q) => p
P - B(BA) czyli q ^~(q^~p)

Nie, nie, nie.
Nawias jest niezbędny choćby ze względów formalnych - w standardowej hierarchii ważności spójników logicznych implikacja i równoważność mają ten sam priorytet, więc bez nawiasów zapis jest niejednoznaczny (nie ma czegoś takiego jak czytanie spójników "od lewej do prawej"). Po drugie Twoje dalsze rozumowanie pokazuje, że źle rozumiesz ten zapis.

Jeżeli chcemy koniecznie robić to zadanie przy pomocy logiki (co budzi we mnie lekkie obrzydzenie, ale cóż ) , to trzeba zejść na poziom elementów. Wtedy stwierdzenie
\(\displaystyle{ A\subseteq B}\)
przymuje postać
Dla dowolnego x zachodzi \(\displaystyle{ x\in A\Rightarrow x\in B}\),
stwierdzenie
\(\displaystyle{ A=B\setminus(B\setminus A)}\)
przymuje postać
Dla dowolnego x zachodzi \(\displaystyle{ x\in A\Leftrightarrow x\in B\land\neg(x\in B\land\neg x\in A)}\),
a całość
\(\displaystyle{ A\subseteq B\Rightarrow A=B\setminus(B\setminus A)}\)
przymuje postać
Dla dowolnego x zachodzi \(\displaystyle{ (x\in A\Rightarrow x\in B)\Rightarrow(x\in A\Leftrightarrow x\in B\land\neg(x\in B\land\neg x\in A)}\).

Przymując \(\displaystyle{ p:\ x\in A}\), \(\displaystyle{ q:\ x\in B}\) otrzymujemy zdanie
\(\displaystyle{ (p\Rightarrow q)\Rightarrow(p\Leftrightarrow q\land\neg(q\land\neg p))}\),
które jest tautologią.
JK

[invx]

teraz jasne

jeszcze tylko


a konkretniej wyrazenie B(BA)

bo jak go chce ropisac krok po kroku - to tak:

x e B ^ x ~e (BA)

i dalej

x e B ^ x ~e (x e B ^ x ~e A)

czyli

x e B ^ ~x e (x e B ^ ~x e A)

i teraz opuszczam przed nawiasem x e

i mam

x e B ^ ~ (x e B ^ ~x e A)

- dobre rozumowanie ?


i jeszcze jedno do tematu zbiorów - i dowodzenia praw

Iloczyn kartezjanski AxB

np.

A x (B u C) = (A x B) u (A x C)

wg definicji iloczyn kart. tj.:

(x,y): x e A ^ x e B

i jak teraz takie cos podstawic do jakiegos prawa i uzyskac zdanie logiczne ?

dzieki

P.S.
a inaczej - to mozna by to udowodnic rysunkiem ?

[Jan Kraszewski]

Proszę, naucz się TeXa...

eszcze tylko wyrazenie B(BA)

bo jak go chce ropisac krok po kroku - to tak:
x e B ^ x ~e (BA)
i dalej
x e B ^ x ~e (x e B ^ x ~e A)
czyli
x e B ^ ~x e (x e B ^ ~x e A)
i teraz opuszczam przed nawiasem x e
i mam
x e B ^ ~ (x e B ^ ~x e A)
- dobre rozumowanie ?

Nie. To co piszesz wskazuje, że działasz na poziomie czysto formalnym (manipulacje na znaczkach), bez zrozumienia znaczenia tego, co piszesz. Np. z matematycznego punktu widzenia zapis
x e B ^ ~x e (x e B ^ ~x e A)
nie ma sensu. Na dłuższą (a nawet krótszą) metę tak się matematyki wyższej nauczyć nie da. Polecam zatem rozmowę z kimś, kto wyjaśni Ci znaczenie tych napisów (bo na forum to się nie da - to wymaga osobistych wyjaśnień).

i jeszcze jedno do tematu zbiorów - i dowodzenia praw
Iloczyn kartezjanski AxB
np.
A x (B u C) = (A x B) u (A x C)
wg definicji iloczyn kart. tj.:
(x,y): x e A ^ x e B
i jak teraz takie cos podstawic do jakiegos prawa i uzyskac zdanie logiczne ?

Raczej: {(x,y): x e A ^ y e B}. Znowu - patrz uwaga powyżej. Jeżeli najpierw nie zrozumiesz, co tak naprawdę dowodzisz, to moje wytłumaczenie nie zda się na wiele - to nie chodzi o mechaniczne jakieś podstawienie do jakiegoś prawa...

Życzę powodzenia w zmaganiach z matematyką wyższą.
JK

[invx]

\(\displaystyle{ x\in B\wedge\sim x\in(x\in B\wedge\sim x\in A)}\)

no zgadza sie ze to troszke bez sensu

ale majac takie cos:


\(\displaystyle{ x\in B\wedge\sim (x\in B\wedge\sim x\in A)}\)

to moge cyba opuscic nawias ? i otrzymac

\(\displaystyle{ x\in B\wedge\sim x\in B\wedge x\in A}\)
tylko to jakas sprzecznosc ... - ze wycodzi z tego ze x nalezy tylko do A

moge prosic o jakis przyklad z tym iloczynem kartezjanskim ?

P.S.
zaczolem texem pisac

[Jan Kraszewski]

ale majac takie cos:
\(\displaystyle{ x\in B\wedge\sim (x\in B\wedge\sim x\in A)}\)

to moge cyba opuscic nawias ? i otrzymac

\(\displaystyle{ x\in B\wedge\sim x\in B\wedge x\in A}\)

Oczywiście, że nie. Żeby opuścić nawias, to trzeba zastosować prawa de Morgana. Ale wtedy i tak potrzeba nawiasu:
\(\displaystyle{ x\in B\wedge(\sim x\in B\lor x\in A)}\).

Powtarzam, dopóki pozostaniesz na poziomie znaczków, wiele nie zwojujesz...

Jeśli chodzi o iloczyn kartezjański, to tak:
TW.: A x (B u C) = (A x B) u (A x C)
dowód: Ustalmy dowolną parę uporządkowaną \(\displaystyle{ (x,y)\in A\times(B\cup C)}\). Wówczas \(\displaystyle{ (x,y)\in A\times(B\cup C)\Leftrightarrow x\in A\land y\in B\cup C\Leftrightarrow x\in A\land (y\in B\lor y\in C)\Leftrightarrow (x\in A\land y\in B)\lor(x\in A\land y\in C)\Leftrightarrow (x,y)\in A\times B\lor(x,y)\in A\times C\Leftrightarrow (x,y)\in (A\times B)\cup(A\times C)}\).
Wobec tego na mocy zasady ekstensjonalności dana równość zachodzi.
JK