Wykaż, że:
\(\displaystyle{ (cos\alpha - cos\beta)^{2} + (sin\alpha - sin\beta)^{2} = 4sin^{2} \frac{\alpha-\beta}{2}}\)
\(\displaystyle{ 2(1 + cos\alpha) - sin^{2}\alpha = 4cos^{4}\frac{\alpha}{2}}\)
Proszę o pomoc...
Wykaż, że...
-
jarekp
- Użytkownik
- Posty: 173
- Rejestracja: 7 paź 2007, o 14:40
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 56 razy
Wykaż, że...
\(\displaystyle{ (cos\alpha - cos\beta)^{2} + (sin\alpha - sin\beta)^{2} = 4sin^{2} \frac{\alpha-\beta}{2}}\)
\(\displaystyle{ (cos\alpha - cos\beta)^{2} + (sin\alpha - sin\beta)^{2} =
(cos\alpha)^{2} - 2cos\alpha cos\beta+(cos\beta)^{2}+ (sin\alpha)^{2} - 2sin\alpha sin\beta+(sin\beta)^{2}=2-2(cos\alpha cos\beta+sin\alpha sin\beta)=
2-2cos(\alpha-\beta)=(*)=4sin^{2} \frac{\alpha-\beta}{2}}\)
(*)korzystam ze wzoru(można znależć w tablicach) \(\displaystyle{ sin^{2}x =\frac{1-cos2x}{2}}\)
[ Dodano: 10 Października 2007, 17:52 ]
\(\displaystyle{ 2(1 + cos\alpha) - sin^{2}\alpha = 4cos^{4}\frac{\alpha}{2}}\)
korzystam ze wzoru \(\displaystyle{ cos^{2}x =\frac{1+cos2x}{2}\iff1+cos2x=2cos^{2}x}\)
a więc
\(\displaystyle{ 2(1 + cos\alpha) - sin^{2}\alpha = 4(cos^{2}\frac{\alpha}{2})- sin^{2}\alpha=
4(cos^{2}\frac{\alpha}{2})-(2sin\frac{\alpha}{2}cos\frac{\alpha}{2})^2=
4(cos^{2}\frac{\alpha}{2})- 4sin^{2}\frac{\alpha}{2}cos^{2}\frac{\alpha}{2}=
4cos^{2}\frac{\alpha}{2}(1-sin^{2}\frac{\alpha}{2})=
4cos^{2}\frac{\alpha}{2}cos^{2}\frac{\alpha}{2}=4cos^{4}\frac{\alpha}{2}}\)
\(\displaystyle{ (cos\alpha - cos\beta)^{2} + (sin\alpha - sin\beta)^{2} =
(cos\alpha)^{2} - 2cos\alpha cos\beta+(cos\beta)^{2}+ (sin\alpha)^{2} - 2sin\alpha sin\beta+(sin\beta)^{2}=2-2(cos\alpha cos\beta+sin\alpha sin\beta)=
2-2cos(\alpha-\beta)=(*)=4sin^{2} \frac{\alpha-\beta}{2}}\)
(*)korzystam ze wzoru(można znależć w tablicach) \(\displaystyle{ sin^{2}x =\frac{1-cos2x}{2}}\)
[ Dodano: 10 Października 2007, 17:52 ]
\(\displaystyle{ 2(1 + cos\alpha) - sin^{2}\alpha = 4cos^{4}\frac{\alpha}{2}}\)
korzystam ze wzoru \(\displaystyle{ cos^{2}x =\frac{1+cos2x}{2}\iff1+cos2x=2cos^{2}x}\)
a więc
\(\displaystyle{ 2(1 + cos\alpha) - sin^{2}\alpha = 4(cos^{2}\frac{\alpha}{2})- sin^{2}\alpha=
4(cos^{2}\frac{\alpha}{2})-(2sin\frac{\alpha}{2}cos\frac{\alpha}{2})^2=
4(cos^{2}\frac{\alpha}{2})- 4sin^{2}\frac{\alpha}{2}cos^{2}\frac{\alpha}{2}=
4cos^{2}\frac{\alpha}{2}(1-sin^{2}\frac{\alpha}{2})=
4cos^{2}\frac{\alpha}{2}cos^{2}\frac{\alpha}{2}=4cos^{4}\frac{\alpha}{2}}\)