We Wszystkich zad. rozważamy zbiór \(\displaystyle{ \RR}\) z naturalną topologią.
1. Które z aksjomatów oddzielania (T1-T4) i przeliczalności (AI - AII) spełnia przestrzeń topologiczna antydyskretna (banalna) \(\displaystyle{ X}\).
Zakładamy, że \(\displaystyle{ \# X \geqslant 2}\)
2. Udowodnij, że przestrzeń metryczna dyskretna spełnia aksjomat oddzielnia T4
3. Który z ciągów jest ciągiem Cauchy'ego
a) \(\displaystyle{ a_{n} = (-1)^n}\)
b) \(\displaystyle{ b_{n}= \frac{n+1}{n^2+1}}\)
c) \(\displaystyle{ c_{n} = \frac{n^2 + 1}{n+1}}\)
d) \(\displaystyle{ d_{n} = (\frac{n+1}{n})^{n}}\)
4. Który ze zbiorów jest otwarty w \(\displaystyle{ \RR}\):
\(\displaystyle{ \ZZ}\)
\(\displaystyle{ \RR-\ZZ}\)
\(\displaystyle{ \QQ}\)
\(\displaystyle{ \RR-\QQ}\)
5. Który z powyższych zbiorów jest ośrodkiem w \(\displaystyle{ \RR}\)?
6. Wykazać że suma i iloczyn dwóch dowolnych ciągów Cauchy'ego w przestrzeni \(\displaystyle{ \RR}\) są ciągami Cauchy'ego
7. Wykazać, że przestrzeń \(\displaystyle{ \RR}\) z naturalną topologią spełnia I i II aksjomat przeliczalności tj wskazać przeliczalną bazę topologii oraz przeliczalną bazę otoczeń dowolnie ustalonego punktu.
8. Które z odwzorowań \(\displaystyle{ f: \RR \rightarrow \RR}\) jest homeomorfizmem
\(\displaystyle{ f_{1}(x)=e^x}\)
\(\displaystyle{ f_{2}(x)=x+e^x}\)
\(\displaystyle{ f_{3}(x)=x\cdot e^x}\)
9. Które z odwzrowań \(\displaystyle{ g: \RR \rightarrow \RR}\) jest izometrią:
\(\displaystyle{ g_{1}=2x}\)
\(\displaystyle{ g_{2}=x^2}\)
\(\displaystyle{ g_{3}=x+2}\)
10. Które z odwzorowań \(\displaystyle{ h: \RR\to\RR}\) jest ciągłe?
\(\displaystyle{ h_1(x)= sgn{x}}\)
\(\displaystyle{ h_2(x)= x + sgn{x}}\)
\(\displaystyle{ h_3(x)= x\cdot sgn{x}}\)
gdzie \(\displaystyle{ sgn{x}=\left\{\begin{array}{l}1 \ dla \ x > 0\\0 \ dla \ x=0\\-1 \ dla \ x<0\end{array}\right.}\)
Wszystkie zadania z uzasadnieniem
Dziękuję z góry za pomoc.
kilka zadań z przestrzeni topologicznych
-
- Użytkownik
- Posty: 1330
- Rejestracja: 10 paź 2004, o 13:30
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Suchedniów
- Pomógł: 104 razy
kilka zadań z przestrzeni topologicznych
3,6 -> powtorka z podstaw Analizy I.
9. Wiesz co to jest izometria?
8. Wiesz co to jest homeomorfizm? Wiesz co to jest bijekcja? Dalej analiza I.
10. Powtorka z analizy I.
4. Zrob rysunek. Przeczytaj, co to jest zbior otwarty. Przypomnij sobie z analizy 1 takie rzeczy jak np. to, ze w kazdym przedziale jest nieskonczenie wiele liczb wymiernych i niewymiernych.
5. Chodzi o to, ze domkniecie to cala przestrzen?
7. Przypomnij sobie, jak na wstepie do matematyki wykazywalo sie, ze dowolna rodzina parami rozlacznych przedzialow otwartych jest co najwyzej przeliczalna.
2. Wez definicje przestrzeni T4, potem popatrz jak wygladaja kule i zbiory domkniete w przestrzeni z metryka dyskretna.
1. Przeczytaj definicje przestrzeni T_1, ..., T_4 i aksjomaty prezliczalnosci, a potem sprawdzaj (na poczatku moze na prostych przykladach).
9. Wiesz co to jest izometria?
8. Wiesz co to jest homeomorfizm? Wiesz co to jest bijekcja? Dalej analiza I.
10. Powtorka z analizy I.
4. Zrob rysunek. Przeczytaj, co to jest zbior otwarty. Przypomnij sobie z analizy 1 takie rzeczy jak np. to, ze w kazdym przedziale jest nieskonczenie wiele liczb wymiernych i niewymiernych.
5. Chodzi o to, ze domkniecie to cala przestrzen?
7. Przypomnij sobie, jak na wstepie do matematyki wykazywalo sie, ze dowolna rodzina parami rozlacznych przedzialow otwartych jest co najwyzej przeliczalna.
2. Wez definicje przestrzeni T4, potem popatrz jak wygladaja kule i zbiory domkniete w przestrzeni z metryka dyskretna.
1. Przeczytaj definicje przestrzeni T_1, ..., T_4 i aksjomaty prezliczalnosci, a potem sprawdzaj (na poczatku moze na prostych przykladach).