Zadania (Relacje)

[mindcrasher]

1. Jaka relacja na (tu wstaw dowolny zbiór) jest zarówno symetryczna jak i antysymetryczna?

2. Na \(\displaystyle{ \mathbb{Z}}\) rozważam relację:

\(\displaystyle{ xRy \iff 3|x-y}\)

zbadać własności tej relacji.

3.Płaszczyzna
\(\displaystyle{ P(x,y)RQ(u,v) \iff x^{2}+y^{2}=u^{2}+v^{2}}\)
które z własności ma ta relacja?

4. \(\displaystyle{ P_{0}(2,2\sqrt{2})}\)

Opisać zbiór wszystkich punktów Q takich, że \(\displaystyle{ P_{0}RQ}\)

Jeśli ktoś mógłby mi to wytłumaczyć byłbym bardzo wdzięczny

[liu]

1. No, jeżeli dla dowolnych \(\displaystyle{ (x,y)\in r}\) jest \(\displaystyle{ (y,x)\in r}\), to z antysymetrii jest \(\displaystyle{ x=y}\). Zatem relacje symetryczne i antysymetryczne na A to identycznosci \(\displaystyle{ I_A}\).

W nastepnych zadaniach po prostu trzeba sprawdzic ktore ze zdefiniowanych przez was na zajeciach wlasnosci dzialaja dla danych relacji, a ktore nie.

[Jan Kraszewski]

1. No, jeżeli dla dowolnych \(\displaystyle{ (x,y)\in r}\) jest \(\displaystyle{ (y,x)\in r}\), to z antysymetrii jest \(\displaystyle{ x=y}\). Zatem relacje symetryczne i antysymetryczne na A to identycznosci \(\displaystyle{ I_A}\).

Nieprawda, relacja R={} na zbiorze {0,1} też jest symetryczna i antysymetryczna (zakładając, że przez antysymetrię rozumiemy słabą antysymetrię...). Ogólnie, nie tylko identyczność na A, ale także każdy jej podzbiór.
JK

[liu]

Tak, glupote straszna napisalem. Nie wiem, o czym wtedy myslalem:)

[mol_ksiazkowy]

\(\displaystyle{ P_0 R Q}\)
Q(u, v)
\(\displaystyle{ u^2+ v^2= 4+8=12}\)
tj okrag

[p_pierzchala]

2.
*Zwrotność
Jest zwrotna gdyż \(\displaystyle{ 3|x-x}\)Z czego wynika, że 3|0. Więc jest zwrotna.
*Symetryczność
Jest symetryczna, gdyż \(\displaystyle{ x-y=y-x}\)
*Przechodnia
Mamy \(\displaystyle{ aRb bRc aRc}\)
Wiec w naszym przypadku \(\displaystyle{ (3|x-y)\wedge(3|y-z)\iff (3|x-y+y-z) (3|x-z)}\)

Więc warunek \(\displaystyle{ (3|x-y)\wedge(3|y-z)\Rightarrow (3|x-z)}\) jest spełniony!

Ta relacja jest zwrotna, symetryczna i przechodnia!!

[vivianell]

hmm ale dlaczego jest symetryczna? przeciez x - y to wcale nie to samo co y - x ...