Wykaż, że...
-
- Użytkownik
- Posty: 28
- Rejestracja: 24 wrz 2007, o 18:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zduńska Wola
- Podziękował: 11 razy
- Pomógł: 2 razy
Wykaż, że...
Wykaż, bez używania kalkulatora i tablic, że
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{5\sqrt{2}+7}}\)-\(\displaystyle{ \sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}}\) Należy do zbioru liczb całkowitych
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{5\sqrt{2}+7}}\)-\(\displaystyle{ \sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}}\) Należy do zbioru liczb całkowitych
-
- Użytkownik
- Posty: 179
- Rejestracja: 13 lis 2006, o 18:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 53 razy
- Pomógł: 11 razy
Wykaż, że...
\(\displaystyle{ x=\sqrt[3]{5\sqrt{2}+7}-\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}}\)
\(\displaystyle{ a=\sqrt[3]{5\sqrt{2}+7}}\)
\(\displaystyle{ b=\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}}\)
\(\displaystyle{ x=a-b}\)
\(\displaystyle{ x^{3}=(\sqrt[3]{5\sqrt{2}+7}-\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7})^{3}}\)
\(\displaystyle{ x^{3}=(\sqrt[3]{5\sqrt{2}+7})^{3}-(\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7})^{3}-3(\sqrt[3]{5\sqrt{2}+7}}\)\(\displaystyle{ *\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}) *(\sqrt[3]{5\sqrt{2}+7}-\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7})}\)
OSTATNI WYRAZ TEGO OBLICZENIA POWYŻEJ TO x , więc:
PO WYLICZENIU WSZYSTKIEGO I SKRÓCENIU WYCHODZI:
\(\displaystyle{ x^{3}={5\sqrt{2}+7}-{5\sqrt{2}+7}-3x(\sqrt[3]{50-49})}\)
czyli wychodzi:
\(\displaystyle{ x^{3}=14-3x}\)
z tego możemy sami wyliczyć że x=2, ponieważ jest jedynym rzeczywistym pierwiastkiem równania
\(\displaystyle{ a=\sqrt[3]{5\sqrt{2}+7}}\)
\(\displaystyle{ b=\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}}\)
\(\displaystyle{ x=a-b}\)
\(\displaystyle{ x^{3}=(\sqrt[3]{5\sqrt{2}+7}-\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7})^{3}}\)
\(\displaystyle{ x^{3}=(\sqrt[3]{5\sqrt{2}+7})^{3}-(\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7})^{3}-3(\sqrt[3]{5\sqrt{2}+7}}\)\(\displaystyle{ *\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}) *(\sqrt[3]{5\sqrt{2}+7}-\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7})}\)
OSTATNI WYRAZ TEGO OBLICZENIA POWYŻEJ TO x , więc:
PO WYLICZENIU WSZYSTKIEGO I SKRÓCENIU WYCHODZI:
\(\displaystyle{ x^{3}={5\sqrt{2}+7}-{5\sqrt{2}+7}-3x(\sqrt[3]{50-49})}\)
czyli wychodzi:
\(\displaystyle{ x^{3}=14-3x}\)
z tego możemy sami wyliczyć że x=2, ponieważ jest jedynym rzeczywistym pierwiastkiem równania
-
- Użytkownik
- Posty: 261
- Rejestracja: 7 sty 2007, o 16:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 49 razy
Wykaż, że...
to mnie zaskoczyłeś takim rozwiązniem
popatrz
\(\displaystyle{ (\sqrt2+1)^3 = 1+3\sqrt{2}+6+2\sqrt{2}=5\sqrt{2}+7}\)
analogicznie z minusem
\(\displaystyle{ (\sqrt2-1)^3 = 2\sqrt{2}-6+3\sqrt{2}-1}=5\sqrt{2}-7}\)
czyli masz
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{(\sqrt2+1)^3}-\sqrt[3]{(\sqrt2-1)^3}=(5\sqrt{2}+7)-(5\sqrt{2}-7)=14}\)
i mała uwaga do kolegi powyżej, pomysł w sumie nie wiem czy dobry, na pewno przekombinowany no i niestety bez wzorów skróconego mnożenia to nie miało szans wyjść
\(\displaystyle{ x=a+b}\)
\(\displaystyle{ x^3=(a+b)3}\)
\(\displaystyle{ (a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3}\)
popatrz
\(\displaystyle{ (\sqrt2+1)^3 = 1+3\sqrt{2}+6+2\sqrt{2}=5\sqrt{2}+7}\)
analogicznie z minusem
\(\displaystyle{ (\sqrt2-1)^3 = 2\sqrt{2}-6+3\sqrt{2}-1}=5\sqrt{2}-7}\)
czyli masz
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{(\sqrt2+1)^3}-\sqrt[3]{(\sqrt2-1)^3}=(5\sqrt{2}+7)-(5\sqrt{2}-7)=14}\)
i mała uwaga do kolegi powyżej, pomysł w sumie nie wiem czy dobry, na pewno przekombinowany no i niestety bez wzorów skróconego mnożenia to nie miało szans wyjść
\(\displaystyle{ x=a+b}\)
\(\displaystyle{ x^3=(a+b)3}\)
\(\displaystyle{ (a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 261
- Rejestracja: 7 sty 2007, o 16:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 49 razy
Wykaż, że...
ukierunkować na wartośc bezwzględną ? eee... nie da sie ;P
jeśli dała to jedno konkretne zadanie i żadnego innego (w co wątpię) to nie da rady.
natomiast podobne przykłady tyle że racze j na literkach i z równaniami kwadratowymi to by mogło chodzić o
\(\displaystyle{ \sqrt{a+b}^2=|a+b|}\)
(kwardat pierwiastka drugiego stopnia jest równy modułowi [wartości bezwzględnej] wyrażenia podpierwiastkowego)
jeśli dała to jedno konkretne zadanie i żadnego innego (w co wątpię) to nie da rady.
natomiast podobne przykłady tyle że racze j na literkach i z równaniami kwadratowymi to by mogło chodzić o
\(\displaystyle{ \sqrt{a+b}^2=|a+b|}\)
(kwardat pierwiastka drugiego stopnia jest równy modułowi [wartości bezwzględnej] wyrażenia podpierwiastkowego)
-
- Użytkownik
- Posty: 28
- Rejestracja: 24 wrz 2007, o 18:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zduńska Wola
- Podziękował: 11 razy
- Pomógł: 2 razy
Wykaż, że...
A mam jeszcze małe pytanko:
Czy skoro \(\displaystyle{ \sqrt{a^2}}\)=|a|, to czy \(\displaystyle{ \sqrt[3]{a^3}}\)=|a| i \(\displaystyle{ \sqrt[n]{a^n}}\)=|a| ???
Czy skoro \(\displaystyle{ \sqrt{a^2}}\)=|a|, to czy \(\displaystyle{ \sqrt[3]{a^3}}\)=|a| i \(\displaystyle{ \sqrt[n]{a^n}}\)=|a| ???
-
- Użytkownik
- Posty: 261
- Rejestracja: 7 sty 2007, o 16:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 49 razy
Wykaż, że...
tylko jeśli n jest parzyste, bo + razy + daje + i - razy - daje +
jeśli n jest nieparzyste to mamy dwie możliwości a>0 i ao[/latex]
\(\displaystyle{ |a|=a}\)
jeśli n jest nieparzyste to mamy dwie możliwości a>0 i ao[/latex]
\(\displaystyle{ |a|=a}\)
- Lorek
- Użytkownik
- Posty: 7150
- Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ruda Śląska
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 1322 razy
Wykaż, że...
Chciałbym przypomnieć, że jeżeli \(\displaystyle{ f(x)=\sqrt[2k+1]{x}, \; k\in\mathbb{N}}\) to \(\displaystyle{ D_f=\mathbb{R}}\)pe2de2 pisze:a dla takich pierwiastki sensu nie mają
-
- Użytkownik
- Posty: 63
- Rejestracja: 4 gru 2006, o 19:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 17 razy
Wykaż, że...
Chciałbym przypomnieć, że "Pierwiastek n-tego stopnia z liczby nieujemnej a jest to taka liczba nieujemna b, że \(\displaystyle{ b^{n}=a}\)"
- Lorek
- Użytkownik
- Posty: 7150
- Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ruda Śląska
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 1322 razy
Wykaż, że...
Prawda, z tym że jeżeli nic nie pisze o pierwiastku ujemnym, to nie znaczy, że takich nie ma, np.:
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{-8}=-2\iff (-2)^3=-8}\)
pasuje?
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{-8}=-2\iff (-2)^3=-8}\)
pasuje?