pochodne cząstkowe

[razer]

Witam. Mógłby ktoś sprawdzić, czy dobrze policzylem pochodne cząstkowe rzedu pierwszego

a) funkcji \(\displaystyle{ f(x,y,x)=yln(zx^2+y)+\sqrt[3]{x}+lnz}\)

Roz.
\(\displaystyle{ f_{x}'=\frac{2xyz}{zx^2+y}+\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}}\)
\(\displaystyle{ f_{y}'=ln(zx^2+y)+\frac{y}{zx^2+y}}\)
\(\displaystyle{ f_{z}'=\frac{yz}{zx^2+y}+\frac{1}{x}}\)

b) \(\displaystyle{ z=x^2+cos(xy)}\)

Roz.
\(\displaystyle{ \frac{\partial{z}}{\partial{x}}=2x-ysin(xy)}\)
\(\displaystyle{ \frac{\partial{z}}{\partial{y}}=-xsin(xy)}\)

z góry dzięki.

[bolo]

\(\displaystyle{ f_{z}'=\frac{yz}{zx^2+y}+\frac{1}{x}}\)

Ta jest do poprawki, obydwa składniki.

[razer]

\(\displaystyle{ f_{z}'=\frac{yz}{zx^2+y}+\frac{1}{x}}\)

rzeczywiście
teraz dobrze?

\(\displaystyle{ f_{z}'=\frac{yx^2}{zx^2+y}+\frac{1}{z}}\)

[bolo]

Teraz jest OK.

[razer]

dzieki wielkie

jeszcze 2 przyklady, nie mam pewności co do tych zadań.

a) \(\displaystyle{ f(x,y)=x^{y^{2}}}\)
\(\displaystyle{ f_{x}'=y^2x^{(y^{2}-1)}}\)
\(\displaystyle{ f_{xx}"=y^2(y^{2}-1)x^{(y^{2}-2)}}\)

\(\displaystyle{ f_{y}'=x^{y^{2}}lnx}\)
\(\displaystyle{ f_{yy}"=x^{y^{2}}ln^{2}x}\)

b) \(\displaystyle{ u(x,y,z)=xy\sqrt{z}+3x^z}\)
\(\displaystyle{ u_{xz}"=\frac{y}{2\sqrt{z}}+3zx^{(z-1)}lnx+3x^{(z-1)}}\)

[bolo]

\(\displaystyle{ f_{y}'=x^{y^{2}}lnx}\)
\(\displaystyle{ f_{yy}"=x^{y^{2}}ln^{2}x}\)

Brakuje pochodnej wewnętrznej.

[razer]

\(\displaystyle{ f_{y}'=x^{y^{2}}lnx}\)
\(\displaystyle{ f_{yy}"=x^{y^{2}}ln^{2}x}\)

Brakuje pochodnej wewnętrznej.

aha, czyli \(\displaystyle{ f_{y}'=2yx^{y^{2}}lnx}\) i \(\displaystyle{ f_{yy}"=2yx^{y^{2}}ln^{2}x}\)

[bolo]

Powoli. Pierwsza pochodna jest OK, druga "jeszcze" nie.

[razer]

hmmm.

\(\displaystyle{ f_{yy}"=2x^{y^{2}}lnx+4y^{2}x^{y^{2}}ln^{2}x}\)

[bolo]

No teraz to już wszystko gra jak należy.