Taka sobie ciekawa granica

[Sir George]

Witam!
Przypadkowo natknąłem się na taką oto poniższą granicę:

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\,\frac{e^n}{\big(1+\frac1n\big)^{n^2}}}\)

Chyba już wiem, ile ona wynosi... jestem jednak ciekaw, czy ktoś z forumowiczów znajdzie ładne rozwiązanie (moje, o ile nie jest błędne, to jak przejazd trałem przez pole minowe )

Pozdrawiam

[przemk20]

wystarczy chyba zauwazyc ze
\(\displaystyle{ \lim_{n \to } (1 + \frac{1}{n})^n = e, \ \ z \ czego \\
\lim_{n \to } \frac{e^n}{((1 + \frac{1}{n})^n)^n } = \lim_{n \to } \frac{e^n}{e^n} = 1}\)

[luka52]

Moja propozycja:
\(\displaystyle{ = \lim_{n \to + } e^{n \ln ft( e (1+ \frac{1}{n})^{-n} \right)}}\)
I teraz podstawiając t = 1/n, liczymy granicę wykładnika:
\(\displaystyle{ \lim_{t \to 0^+} \frac{1 + \ln ft( 1+ t \right)^{- \frac{1}{t}}}{t} = \lim_{t \to 0^+} \frac{t - \ln (1+t)}{t^2} = \lim_{t \to 0^+} \frac{\ln \frac{e^t}{1+t}}{t^2} \stackrel{\mathbf{H}}{=} \lim_{t \to 0^+} \frac{1}{2(1+t)} = \frac{1}{2}}\)

Ostatecznie granica wynosi \(\displaystyle{ \sqrt{e}}\)

[liu]

wystarczy chyba zauwazyc ze
\(\displaystyle{ \lim_{n \to } (1 + \frac{1}{n})^n = e, \ \ z \ czego \\
\lim_{n \to } \frac{e^n}{((1 + \frac{1}{n})^n)^n } = \lim_{n \to } \frac{e^n}{e^n} = 1}\)

To nie ma sensu. Ta sama metoda mozna na przyklad latwo "wykazac", ze e=1
Popelniles standardowy blad, ktory jest zwykle warunkiem wystarczajacym do otrzymania oceny 2:)

[bolo]

Ta granica już była kiedyś na forum Piękny przykład, na którym można się nieźle wyłożyć...

[Sir George]

bolo, WOW, jest jeszcze ktoś, kto zagląda na takie strony!
BTW, bywałeś może w Ostrawie?

liu, właśnie dlatego przykład mi się b.spodobał. Chociaż na mojej Alma Mater byłoby to raczej zadanie na ocenę 6.0...

.

Moje rozwiązanie, po poprawkach i małym "wyczyszczeniu" w sumie okazało się nie takie "tępe", jak myślałem na początku. Schemat jest taki:

1. oszacowanie logarytmu (np. z rozwinięcia w szereg lub przez nierówności z pochodnymi):
\(\displaystyle{ x-\frac{x^2}2\,\le\,\log(1+x)\, \, x-\frac{x^2}2+\frac{x^3}3}\)

2. Powyższe oszacowanie daje nam:
\(\displaystyle{ \frac1{2n}-\frac1{3n^2}\, \, 1-n\log\big(1+\frac1n\big)\,=\, \log\left(\frac{e}{\big(1+\frac1n\big)^n}\right)\, \, \frac1{2n}}\),
skąd
\(\displaystyle{ e^{1/2-1/3n}\, \, \frac{e^n}{\big(1+\frac1n\big)^{n^2}}\, \,e^{1/2}}\)

3. .. i coup de grace z tw. o trzech ciągach...

[bolo]

Nie, nie byłem, a już na pewno nie w tym celu Ale niektóre zadania mi się podobają.