\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0}\left(\frac{1-\cos x\cdot\cos2x\cdot \cos3x}{1-\cos x}\right)}\)
\(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty}\left(\sin x\sqrt{x+1} - \sin\sqrt{x}\right)}\)
2 granice
-
robin5hood
- Użytkownik
- Posty: 1676
- Rejestracja: 2 kwie 2007, o 14:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: warszawa
- Podziękował: 178 razy
- Pomógł: 17 razy
2 granice
skorzystaj z tożsamości trygonometrycznych
\(\displaystyle{ \cos{(2x)}=2\cos^2{x}-1}\)
\(\displaystyle{ \cos{(3x)}=4\cos^{3}(x)-3\cos{x}}\)
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0}\left(\frac{1-\cos{x}\cos{(2x)}\cos{(3x)}}{1-\cos{x}}\right)=}\)
\(\displaystyle{ =\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos{x} (2\cos^{2}{x}-1)\cdot(4\cos^{3}{x}-3\cos{x})}{1-cosx}}\)
podstaw \(\displaystyle{ \cos{x}=t | x=\arccos{t} | t \to 1|}\)
\(\displaystyle{ =\lim_{t \to 1} \frac{1-t(2t^2-1)(4t^3-3t)}{1-t}=}\)
\(\displaystyle{ =\lim_{t \to 1} \frac{1-8t^6+10t^4-3t^2}{1-t}=}\)
\(\displaystyle{ =\lim_{t \to 1} \frac{8t^6-10t^4+3t^2-1}{t-1}=}\)
podziel licznik przez mianownik
\(\displaystyle{ \lim_{t \to 1} 8t^5+8t^4-2t^3-2t^2+t+1 =14}\)
\(\displaystyle{ \cos{(2x)}=2\cos^2{x}-1}\)
\(\displaystyle{ \cos{(3x)}=4\cos^{3}(x)-3\cos{x}}\)
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0}\left(\frac{1-\cos{x}\cos{(2x)}\cos{(3x)}}{1-\cos{x}}\right)=}\)
\(\displaystyle{ =\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos{x} (2\cos^{2}{x}-1)\cdot(4\cos^{3}{x}-3\cos{x})}{1-cosx}}\)
podstaw \(\displaystyle{ \cos{x}=t | x=\arccos{t} | t \to 1|}\)
\(\displaystyle{ =\lim_{t \to 1} \frac{1-t(2t^2-1)(4t^3-3t)}{1-t}=}\)
\(\displaystyle{ =\lim_{t \to 1} \frac{1-8t^6+10t^4-3t^2}{1-t}=}\)
\(\displaystyle{ =\lim_{t \to 1} \frac{8t^6-10t^4+3t^2-1}{t-1}=}\)
podziel licznik przez mianownik
\(\displaystyle{ \lim_{t \to 1} 8t^5+8t^4-2t^3-2t^2+t+1 =14}\)