Zbiór zadań z konkursu

[wafal]

Nurtuje mnie kilka zadań z konkursu... . Prosiłbym was o rozwiązanie następujących zadań:

Zadanie 1.
W kwadracie ABCD punkt M jest środkiem boku BC, a punkt N jest środkiem boku AD. Okrąg o środku N przechodzący przez punkt M przecina bok CD w punkcie P. Ile stopni ma kąt PNM?

Zadanie 2.
Jeżeli każdy bok prostokąta zwiększymy o 2 cm, to jego pole wzrośnie o 18 cm�. O ile cm� zmieni się pole danego prostokąta, jeżeli każdy jego bok zmniejszymy o 1 cm?

Zadanie 3.
Cena brutto kolorowej odbitki ksero wynosi 3,05 zł. W cenę tę wliczony jest 22% podatek VAT. Przy zamówieniu większym niż 100 odbitek klient dostaje pewien rabat liczony od ceny netto (bez podatku VAT) zamówienia. Ile procent wynosi rabat, jeżeli za 150 odbitek zapłacono 411,75 zł?

Zadanie 4.
Dziedziną funkcji \(\displaystyle{ f}\) jest zbiór tych licz całkowitych dodatnich, dla których istnieje wartość wyrażenia \(\displaystyle{ \sqrt{\frac{225 - n}{5}}}\). Funkcja \(\displaystyle{ f}\) każdej liczbie \(\displaystyle{ n}\) należącej do dziedziny przyporządkowuje cyfrę jedności liczby \(\displaystyle{ 2^{n} + 3^{n}}\).
a) Określ zbiór argumentów oraz zbiór wartości funkcji \(\displaystyle{ f}\).
b) Podaj wartość funkcji \(\displaystyle{ f}\) dla argumantu \(\displaystyle{ n = 199}\).

Zadanie 5.
Gdy liczbę 4373 podzielono przez liczbę n, to otrzymano resztę 8. Gdy liczbę 826 podzielono przez liczbę n, to otrzymano resztę 7. Wyznacz n.

[Justka]

Ad.2
Hm... z treści zadania wynika:
Początkowe pole prostokata:
\(\displaystyle{ ab=x}\)
Po zwiększeniu długości boków o 2cm
\(\displaystyle{ (a+2)(b+2)=ab+2(a+b)+4=x+18}\)
POdstawiając za "ab" w drugim równaniu:
\(\displaystyle{ x+2(a+b)=x+14\\
a+b=7|\cdot (-1)\\
-a-b=-7}\)
Teraz sprawdzamy co się stanie gdy zmniejszymy boki prostokąta o 1cm:
\(\displaystyle{ (a-1)(b-1)=P\\
P=ab-a-b+1}\)
Podstawiamy za "-a-b" i za "ab"
\(\displaystyle{ P=x-7+1\\
P=x-6}\)
I widać że jezeli zmniejszymy o 1 cm boki prostokąta to jego pole zmniejszy sie o \(\displaystyle{ 6cm^2}\).

[wafal]

Dziękuje.

Rozwiąże ktos resztę zadanek?

[Szemek]

zadanie 5

\(\displaystyle{ \begin{cases}4373=n\cdot a+8
\\826=n\cdot b+7\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases}4365=n\cdot a
\\819=n\cdot b\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ 4365=3\cdot 3 5 97}\)
\(\displaystyle{ 819=3\cdot 3\cdot 7\cdot 13}\)
\(\displaystyle{ n=NWD(4365,819)}\)
\(\displaystyle{ n=9}\)

[wafal]

Dziękuje.

A resztę zadań ktoś ktoś potrafi rozwiązać jeszcze?

[Sir George]

BTW a co to za konkurs?

[liu]

Najprawdopodobniej jakis lokalny (np. kuratoryjny) w gimnazjum.

[wafal]

Są ta zadania z jakiegoś konkursy małopolskiego z gimnazjum... Nie pamiętam, a kartkę z tymi zadaniami nie wiem gdzie mam...

[pe2de2]

no to jak konkurs to tylko podpowiem

3.
jeśli odbitka z watem kosztuje 3,05zł to latwo wyliczyć że bez watu kosztuje 2,5
\(\displaystyle{ \frac{3,05}{1,22}=2,5}\)

potem liczysz ile koszuje 150 odbitek bez rabatu (i bez watu)

\(\displaystyle{ 150*2,5=...}\)

no i musisz policzyć ile kosztowało z rabatem

\(\displaystyle{ \frac{411,75}{1,22}=...}\)

teraz policzenie rabatu to chyba już nie bedzie problem


4.
na początek należy stwierdzić, ze pierwiastek ma sens tylko dla liczb dodatnich, nalezy więc rozwiązać prosta nierówność.

\(\displaystyle{ \frac{225-n}{5}>0}\)

a)aby określić zbiór argumentów funkcji f musisz rozpatrzeć czy
\(\displaystyle{ 2^n+3^n}\) może za cyfrę jedności przyjąc dowolna cyfrę czy może nie

więc pokolei sobie sprawdzasz
\(\displaystyle{ n=1}\)
\(\displaystyle{ 2^1+3^1=2+3=5}\)
cyfra jedności to 5
\(\displaystyle{ n=2}\)
\(\displaystyle{ 2^2_3^2=4+9=13}\)
cyfra jedności to 3

i tak powtarzasz aż do uzyskania powtarzającego sie klucza lub jeśli to szybciej nastąpi do uzyskania wszystkich 10 cyfr.

b)tu bedzie ci pomocny wcześniej uzyskany ciąg, policzysz sobie ktorą z możliwych cyfr będzie cyfra numer 199

[wafal]

pe2de2 dzięki, tylko 4 będę musiał zrobić większą analize

[ Dodano: 12 Października 2007, 16:02 ]
Dziękuje za rozwiązania zadań

Do zamknięcia.