Udowodnij ( nie idukcyjnie), że dla każdej liczby całkowitej n liczba: n(n+1)(2n+1) jest podzielna przez 6.
Proszę o pomoc .
Udowodnij, że ...
-
- Użytkownik
- Posty: 4
- Rejestracja: 24 lut 2007, o 22:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
-
- Użytkownik
- Posty: 2234
- Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 22 razy
- Pomógł: 390 razy
Udowodnij, że ...
można np. ze znanego wzoru:
\(\displaystyle{ 1^{2}+2^{2}+...+n^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}\), a po lewej mamy liczbę całkowitą Jakbyś chciał inaczej, to wystarczy posprawdzać przystawania iloczynu modulo 2 i modulo 3
\(\displaystyle{ 1^{2}+2^{2}+...+n^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}\), a po lewej mamy liczbę całkowitą Jakbyś chciał inaczej, to wystarczy posprawdzać przystawania iloczynu modulo 2 i modulo 3
- jarekp
- Użytkownik
- Posty: 173
- Rejestracja: 7 paź 2007, o 14:40
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 56 razy
Udowodnij, że ...
n(n-1) to iloczyn dwóch kolejnych liczb naturalnych(jedna z nich jest parzysta)
więc n(n-1)(2n+1) jest zawsze podzielna przez 2.
Pozostaje wykazać podzielność przez 3.
1. n=3k n jest podzielna przez 3. k-liczba całkowita
2.jeśli n=3k+1 to wtedy czynnik 2n+1=2(3k+1)+1=6k+3 czyli jest podzielny przez 3
3.n=3k+2 to wtedy czynnik n+1=3n+3 jest podzielny przez 3
czyli w każdym przypadku licza n(n+1)(2n+1) jest podzielna przez 2 i 3 czyli jest zawsze podzielna przez 6.
więc n(n-1)(2n+1) jest zawsze podzielna przez 2.
Pozostaje wykazać podzielność przez 3.
1. n=3k n jest podzielna przez 3. k-liczba całkowita
2.jeśli n=3k+1 to wtedy czynnik 2n+1=2(3k+1)+1=6k+3 czyli jest podzielny przez 3
3.n=3k+2 to wtedy czynnik n+1=3n+3 jest podzielny przez 3
czyli w każdym przypadku licza n(n+1)(2n+1) jest podzielna przez 2 i 3 czyli jest zawsze podzielna przez 6.