2 równania o zmiennych rozdzielonych

[amdfanatyk]

1. chyba poprawnie rozwiązane

\(\displaystyle{ y'=\frac{cos(x)}{y}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}y^2=sin(x)+C}\)
\(\displaystyle{ y={(2sin(x)+C)}^{\frac{1}{2}}}\)

2. nie potrafię rozwiązać do końca

\(\displaystyle{ y'=y\frac{ln(x)}{x}}\)
\(\displaystyle{ ln(y)=\frac{1}{2}ln^2(x)+C}\)

[luka52]

ad 1.
Prawie dobrze, tj. jeżeli już chcesz mieć wynik jako y=..., to:
\(\displaystyle{ y = \sqrt{2 \sin x + C}}\)

ad 2.
\(\displaystyle{ y = C e^{\frac{\ln^2 x}{2}}}\)

[amdfanatyk]

ad 2.
\(\displaystyle{ y = C e^{\frac{\ln^2 x}{2}}}\)

Możesz wyjaśnić to przekształcenie? Jakoś dalej tego nie widzę.

[luka52]

A dokładniej to tak:
\(\displaystyle{ e^{\frac{\ln^2 x}{2} + C} = e^C e^{\frac{\ln^2 x}{2}} = C e^{\frac{\ln^2 x}{2}}}\)
teraz widać?

[amdfanatyk]

Po obustronnym podniesieniu do potęgi e otrzymam:
\(\displaystyle{ ln^e(y)=(\frac{1}{2}ln^2(x)+C)^e}\)

[luka52]

No tak, głupoty już piszę...

[amdfanatyk]

Należy się za to wziąć w ten sposób:
\(\displaystyle{ y'=y\frac{ln(x)}{x}}\)
\(\displaystyle{ ln(y)=\frac{1}{2}ln^2(x)+ln(C_{0})}\)
\(\displaystyle{ C=ln(C_{0})}\)

Rozwiązanie:
\(\displaystyle{ y=C_{0}e^{\frac{1}{2}ln^2(x)}}\)

Więc rozwiązanie podałeś poprawne tylko nie potrafiłeś go wytłumaczyć.