Funktory zdaniotwórcze - hierarchia

[raidmaster]

Witam, na wykładzie z logiki pani profesor wyłożyła nam że funktory zdaniotwórcze ułozone są według pewnej hierarchii. Od najważniejszych do najmniej znaczących:
negacja, koniunkcja, implikacja, równoważność, alternatywa.
Jeżeli poprawnie wnioskuję to gdybyśmy chcieli metodą zero-jedynkową sprawdzić prawdziwość następującego twierdzenia:
\(\displaystyle{ p\vee q \iff r}\)
to wtedy napierw bierzemy pod uwagę równoważność \(\displaystyle{ q \iff r}\) a później alternatywę \(\displaystyle{ p\vee q \iff r}\)? Bo tak wynikałoby z tej hierarchii. Poszukiwałem w necie podobnej hierarchii - nie znalazłem takowej.

W skrócie, ma być tak:

\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccccc}p&q&r&q \iff r&p\vee q \iff r\\1&1&1&1&1\\1&1&0&0&1\\1&0&1&0&1\\1&0&0&1&1\\0&1&1&1&1\\0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&1\end{array}\right|}\)

czy tak:

\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccccc}p&q&r&p\vee q&p\vee q \iff r\\1&1&1&1&1\\1&1&0&1&0\\1&0&1&1&1\\1&0&0&1&0\\0&1&1&1&1\\0&1&0&1&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&0&1\end{array}\right|}\)

?

[Jan Kraszewski]

Hmmm... Pierwszy raz słyszę o takiej hierarchii, a sam uczę studentów już dość długo. Czy jesteś pewien, że właśnie tak to zostało powiedziane?
Gdyby przyjąć, że istotnie o to chodziło, to faktycznie zgdonie z hierarchią pani profesor najpierw rozważamy równoważność, a potem alternatywę, ale to byłoby zdecydowanie bardzo dziwne... Normalnie hierarchia funktorów zdaniotwórczych (fuj, co za nazwa, dużo lepiej brzmi spójników logicznych) jest taka:

negacja
alternatywa i koniunkcja (ten sam priorytet)
implikacja i równoważność (ten sam priorytet).

Oczywiście, każdy może sobie wymyślić inną, bo to tylko kwestia umowy, tylko po co?
JK

[raidmaster]

Na pewno pani profesor to tak przedstawiła. Później nawet były ćwiczenia typu:
usuń zbędne nawiasy i w przykładzie:
p^q(p v r) nawiasów usunąć nie było można (alternatywa słabsza od równoważności), a z tego co Pan mówi wynikałoby że taki nawias usunąć można (bo najpierw rozpatrujemy koniunkcję i alternatywę a później sprawdzamy równoważność). Ogólnie było więcej zadań typu usuń nawiasy, które szczerze mówiąc, nie wiem do czego miały prowadzić.

Do tego przy ustalaniu kolejności wykonywania działań w przykładzie: p v q r pierwszeństwo przyznane jest równoważności a jako drugie wykonuje się alternatywę. (czyt. nad spójnikami logicznymi wpisywaliśmy kolejne liczby 1,2,3 na podstawie których wyznaczało się kolejność). I w tym przykładzie 1 była nad równoważnością, 2 nad alternatywą, a to z kolei wynikało z w/w "hierarchi".
Za to w przykładzie p^qr najpierw jest koniunkcja potem równoważność, co z kolei zgadza się z Pana słowami ale i równocześnie z "hierarchią" pani prof. (neg, kon, impl, równ, alt)

Dodam, że to wszystko mnie również zaciekawiło gdyż w liceum nie słyszałem nic o takowej hierarchii.

Reasumując, wnioskuję z Pana wypowiedzi, iż to właśnie 2 przykład z mojego poprzedniego posta jest właściwy?

Mam jeszcze jedno pytanie: Czy koniunkcję p^q da się przedstawić za pomocą negacji i implikacji? Bo według tego co mi wyszło to nie jest to możliwe.

Dziękuję za odpowiedź.

[Jan Kraszewski]

Widzisz, jeżeli pani profesor ustaliła, z nieznanych mi przyczyn, taką właśnie hierarchię, to musisz sie jej trzymać (hierarchia, jak mówiłem, jest kwestią umowy, hierarchia pani profesor jest bardzo nietypowa, ale, niestety, dla Ciebie obowiązująca...). W tej hierarchiii poprawna jest tabelka pierwsza. W bardziej popularnej hierarchii, która Ci podałem, poprawna jest tabelka druga. Nie jest to żadna sprzeczność - jakakolwiek hierarchia służy wyłącznie uproszczeniu zapisu, pozwalając na opuszczenie pewnej liczby nawiasów. Można nie uznawać żadnej hierarchii i pisać wszystkie nawiasy - wtedy zawsze wiadomo, o co chodzi...

Drugie pytanie: \(\displaystyle{ p\land q\Leftrightarrow\neg(p\Rightarrow\neg q)}\).

JK

[raidmaster]

Dziekuję za pomoc. Na szczęście udało mi się dojść do odpowiedzi na drugie pytanie jeszcze wczoraj przed testem .

[tomek2168]

Ja mam takie zadanie:

Zdefiniuj funktor równoważności za pomocą funktorów koniunkcji i negacji.

Rozpisałem wszystkie możliwości i wychodzi na to że nie da się tego zapisać,
Czy napewno ? Dziękuję z góry za odpowiedź.

[Jan Kraszewski]

Ja mam takie zadanie:

Zdefiniuj funktor równoważności za pomocą funktorów koniunkcji i negacji.

Rozpisałem wszystkie możliwości i wychodzi na to że nie da się tego zapisać.

Da się, da...
Skorzystaj z:
1. prawa eliminacji równoważności
2. prawa eliminacji implikacji
i już masz definicję równoważności przy pomocy negacji, koniunkcji i alternatywy.
Teraz
3. prawa de Morgana i negacji implikacji
pozwalają Ci pozbyć się alternatywy przy pomocy koniunkcji i negacji.
JK