Dowód implikacji nierówności dla dwóch liczb rzeczywi

[piwne_oko]

uzasadnij że dla każdego \(\displaystyle{ a R \ i \ b R}\) z nierówności \(\displaystyle{ a^{2}+b^{2} qslant 2}\) wynika nierówność \(\displaystyle{ |a+b|\leqslant 2}\)

[jarekp]

Mamy więc
\(\displaystyle{ 1=\sqrt{\frac{{2}}{2}}\geqslant \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}=\sqrt{\frac{|a|^2+|b|^2}{2}}\geqslant \frac{|a|+|b|}{2}}\geqslant \frac{|a+b|}{2}}}\)

czyli \(\displaystyle{ 1\geqslant \frac{|a+b|}{2}}}\) czyli \(\displaystyle{ |a+b|\leqslant 2}\) c.n.u.

I teraz tak: w pierwszym przejściu od lewej korzystam z założenia czyli że \(\displaystyle{ a^{2}+b^{2} qslant 2}\)
kolejna równość jest oczywista. W następnym przejściu wykorzystuję nierówność między średnią
kwadratową a średnią arytmetyczną. W ostatnim przejściu korzystam z faktu, że moduł sumy jest mniejszy lub równy sumie modułów