przkształcenia

[krisgd]

zad 1 obl;icz
\(\displaystyle{ {\sqrt[3]{{\sqrt[2]{5}} + 2}} - {\sqrt[3]{{\sqrt[2]{5}} - 2}}\,=\,}\)


zad 3 usón niewymiernosc z mianownika
\(\displaystyle{ \frac{1}{ {\sqrt[2]{15}} - {\sqrt[2]{6}} + {\sqrt[2]{35}} - {\sqrt[2]{14}} }\,=\,}\)

zad 3 porównaj liczby
\(\displaystyle{ a\,=\,{\sqrt[4]{5 - 2\cdot {\sqrt[2]{6}}}}\cdot {\sqrt[2]{{\sqrt[2]{3}} + {\sqrt[2]{2}}}}}\)
\(\displaystyle{ b\,=\,{\sqrt[2]{9 - 4{\sqrt[2]{5}}}} + {\sqrt[2]{14 - 6{\sqrt[2]{3}}}}}\)
bardzo bym prosił o rozwiązanie tych przykładów a w szczegulnosci przypadku "b" z trzeciego zadania i w miarę dokładnie przedstawił wyniki

w pierwszym mi 4 wyszło w drógim w mianowniku -12 a liczniku \(\displaystyle{ ({\sqrt[2]{3}} - {\sqrt[2]{7}})\cdot ({\sqrt[2]{5}} + {\sqrt[2]{2}})}\)
w trzecim z "a" mi wyszło 1 a z "b" nie mogę se jakoś poradzić ;/

[mmonika]

\(\displaystyle{ Ad\ 1\\
moim\ zdaniem
{\sqrt[3]{{\sqrt[2]{5}} + 2}} - {\sqrt[3]{{\sqrt[2]{5}} - 2}}=1\\
Ad\ 2\\}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{ {\sqrt[2]{15}} - {\sqrt[2]{6}} + {\sqrt[2]{35}} - {\sqrt[2]{14}}}=\frac{1}{\sqrt{3}(\sqrt{5}-\sqrt{2})+\sqrt{7}(\sqrt{5}-\sqrt{2})}\\
=\frac{1}{(\sqrt{5}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{7})}=\frac{(\sqrt{5}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{7})}{(5-2)(3-7)}
\\ czyli\ ok.\\
Ad\ 3\\
\\
a=\sqrt[4]{(5-2\sqrt{6})(\sqrt{3}+\sqrt{2})^{2}}=\sqrt[4]{(5-2\sqrt{6})(5+2\sqrt{6})}=\sqrt[4]{25-24}=1\\
\\
a\ w\ b\ nie\ mialo\ byc\ czasem:\\
b=\sqrt{9-4\sqrt{5}}+\sqrt{14-6\sqrt{5}}\???\\
bo\ jesli\ tak\ to:
b=\sqrt{(2-\sqrt{5})^{2}}+\sqrt{(3-\sqrt{5})^{2}}=|2-\sqrt{5}|+|3-\sqrt{5}|=\sqrt{5}-2+3-\sqrt{5}=1\\
\\
jesli\ jest\ dobrze\ przepisane\ to\ mozna\np.\ tak:\\
pierwszy\ czlon\ b\ jest\ wiekszy\ od\ zera\ a\ drugi\ oszacujmy:\\
\sqrt{1}}\)

[krisgd]

co do trzeciego zadania masz racje żle przepisałem


a co do pierwszego
\(\displaystyle{ {\sqrt[3]{{\sqrt[2]{5}} + 2}} - {\sqrt[3]{{\sqrt[2]{5}} - 2}}}\)
pomnożyłem przez
\(\displaystyle{ {\sqrt[3]{5 + 4}} + {\sqrt[3]{5 - 4}}}\)

i wyszło mi 4 a jeśli się mylę mogła byś mi przedstawić swój tok rozwiązywania

[mmonika]

Aaaa, późno ale zawsze lepiej późno niż wcale
moja propozycja jest nasnastępująca:
\(\displaystyle{ (\sqrt{5}+1)^{3}=5\sqrt{5}+15+3\sqrt{5}+1=8(\sqrt{5}+2)\\
zatem:\\
\frac{(\sqrt{5}+1)^{3}}{2^{3}}=\sqrt{5}+2\\
analogiczne:\\}\)
\(\displaystyle{ (\sqrt{5}-1)^{3}=5\sqrt{5}-15+3\sqrt{5}-1=8(\sqrt{5}-2)\\
zatem:\\}\)
\(\displaystyle{ \frac{(\sqrt{5}-1)^{3}} {2^{3}}=\sqrt{5}-2\\}\)
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{\sqrt{5}+2}-\sqrt[3]{\sqrt{5}-2}
=\sqrt[3] {\frac{ (\sqrt{5}+1)^{3}} {2^{3}}}-\sqrt[3]{\frac{(\sqrt{5}-1)^{3}} {2^{3}}}=\frac{\sqrt{5}+1-\sqrt{5}+1}{2}=1}\)

[krisgd]

tylko jedno pytanie z ta "1" to zawsze sie wstawia czy tylko jak pasuje

[mmonika]

W tego typu zadaniach najczesciej korzysta sie ze wzoru na roznice/sume szescianow itp. albo tak jak tutaj szuka sie, majac pewne intuicje matematyczne, prawdopodobnych rozwiazan.
Np. jesli liczby sa zblizone \(\displaystyle{ \sqrt{5} \ \ i \ 2}\) widac, że liczby pod szescianem tez muszą być zblizone i najczesciej sa to tzw. ładne liczby...