dowód na równość

[mcmałgosia]

\(\displaystyle{ |z_1+z_2|^2+|z_1-z_2|^2=2|z_1|^2+2|z_2|^2}\)
Są jakieś pomysły

[scyth]

\(\displaystyle{ z_1=a+ib \\
z_2=c+id \\
|z_1+z_2|^2+|z_1-z_2|^2 = |(a+ib)+(c+id)|^2+|(a+ib)-(c+id)|^2=\\=
(\sqrt{(a+c)^2+(b+d)^2})^2+(\sqrt{(a-c)^2+(b-d)^2})^2=\\=
(a+c)^2+(a-c)^2+(b+d)^2+(b-d)^2=\\=
2a^2+2b^2+2c^2+2d^2=2(a^2+b^2)+2(c^2+d^2)=\\=
2|z_1|^2+2|z_2|^2}\)

[liu]

Tak ogolnie to warto pamietac, ze
\(\displaystyle{ |z_1+z_2|^2 = |z_1|^2 + |z_2|^2 + 2Re(z_1\overline{z_2})}\)

[przemk20]

a mozna zauwazyc ze
\(\displaystyle{ z \overline{z} = |z|^2, \ \ czyli \\
(z_1 + z_2) ( \overline{z_1} + \overline{z_2}) + (z_1 - z_2) ( \overline{z_1} - \overline{z_2})= 2 z_1 \overline{z_1} + 2 z_2 \overline{z_2} = 2 |z_1|^2 + 2 |z_2|^2}\)

[mcmałgosia]

A tak właściwie to dlaczego w wyrarzeniu które jest pod pierwiastkiem nie ma już "i" bo jakoś nie moge tego połapać

[scyth]

bo \(\displaystyle{ |a+ib|=\sqrt{a^2+b^2}}\) - jak opuścimy nawiasy i pogrupujemy to otrzymamy właśnie to, co napisałem.