żS-2, od: Sylwek, zadanie 2

[Liga]

Wiemy, że istnieje dokładnie jeden taki wielomian, że:
\(\displaystyle{ W(x) = Q(x) V(x)}\)

Skoro W(x) jest wielomianem trzynastego stopnia, V(x) wielomianem drugiego stopnia, to Q(x) jest wielomianem jedenastego stopnia i iloczyn Q(x)*V(x) można przedstawić jako (a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l należą do zbioru liczb całkowitych):
\(\displaystyle{ (x^{11}+bx^{10}+cx^9+dx^8+ex^7+fx^6+gx^5+hx^4+ix^3+jx^2+kx+l)(x^2-x+a)=x^{13}+x+90}\)

Po wymnożeniu:
\(\displaystyle{ x^{13}+x^{12}(-1+b)+x^{11}(a-b+c)+x^{10}(d-c+ab)+x^9(e-d+ac)+x^8(f-e+ad)+x^7(g-f+ae)+x^6(h-g+af)+x^5(i-h+ag)+x^4(j-i+ah)+x^3(k-j+ai)+x^2(l-k+aj)+x(-l+ak)+al=x^{13}+x+90}\)

Dwa wielomiany są równe wtedy i tylko wtedy, gdy współczynniki przy odpowiednich potęgach są sobie równe. Układamy więc taki banalny układ równań :
\(\displaystyle{ \begin{cases}-1+b=0 \\ a-1+c=0 \\ d-c+a=0 \\ e-d+ac=0 \\ f-e+ad=0 \\ g-f+ae=0 \\ h-g+af=0 \\ i-h+ag=0 \\ j-i+ah=0 \\ k-j+ai=0 \\ l-k+aj=0 \\ -l+ak=1 \\ a l=90 \end{cases}}\)

Metodą podstawiania dochodzimy do momentu, że:
\(\displaystyle{ a^7-15a^6+35a^5-28a^4+9a^3-a^2+a+90=0}\)

Z twierdzenia o wymiernych pierwiastkach wielomianu łatwo można sprawdzić, że poszukiwanymi całkowitymi rozwiązaniami tego równania są a=-1 i a=2.

Odpowiedź: Wielomian \(\displaystyle{ W(x)=x^{13}+x+90}\) jest podzielny przez \(\displaystyle{ V(x)=x^{2}-x+a}\) dla \(\displaystyle{ a=-1 a=2}\).

[Tristan]

Rozwiązanie dość "brute force", ale w pełni poprawe. Czyli 5/5.

[mol_ksiazkowy]

a=-1 nie!
cos trza uciac....

[bolo]

Czyli...?

[scyth]

Ja bym proponował 4/5 - pomylił się chyba w wyznaczaniu wielomianu (mógł też sprawdzić rozwiązanie...).

[bolo]

Za moment wstawię do przyklejonego tematu rozwiązanie, które otrzymałem.

[mol_ksiazkowy]

wg mnie ...3 pkt/5. Troszke jest niedociagniec.ps a=-1 mozna np odrzucic wg: jesliby \(\displaystyle{ W(x)=(x^-x-1)R(x)}\), to \(\displaystyle{ =r\frac{1+\sqrt{5}}{2} >0}\), V(r)=0, tj W(r)=0, ale sprz...\(\displaystyle{ W(x) \geq 0}\) dla x>0

[Tristan]

Wybaczcie niedopatrzenie Skłaniałbym się jednak do 4/5.