Udowodnij, że
- Lorek
- Użytkownik
- Posty: 7150
- Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ruda Śląska
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 1322 razy
Udowodnij, że
wb, tam nie ma 3 kropek na końcu, to się kiedyś kończy czyli znak dobry.
[ Dodano: 7 Października 2007, 19:26 ]
Franio, zauważ, że \(\displaystyle{ \sqrt[3]{6}}\)
[ Dodano: 7 Października 2007, 19:26 ]
Franio, zauważ, że \(\displaystyle{ \sqrt[3]{6}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 2234
- Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 22 razy
- Pomógł: 390 razy
Udowodnij, że
Ja bym po prostu policzył do czego byłby zbieżny taki ciąg.
np.
\(\displaystyle{ \sqrt{6+\sqrt{6+...}}=x}\)
Skoro granicę liczymy to możemy sobie wstawić \(\displaystyle{ x=\sqrt{6+x}}\)
Licząc to równanie kwadratowe odrzucamy ujemny pierwiastek i ta część jest zbieżna do 3.
Drugie jest ciut bardziej skomplikowane
Robimy to samo co poprzednio \(\displaystyle{ y=\sqrt[3]{y+6}}\)
\(\displaystyle{ y^{3}-y-6=0}\)
\(\displaystyle{ (y-2)(y^{2}+2y+3)}\), a z tego zapisu łatwo już wywnioskować, że taki ciąg jest zbieżny do 2. A więc nasza suma jest w nieskończoności zbieżna do 5, czyli jest zawsze od niej mniejsza
EDIT: Hehehe, Lorek, Twój sposób jest dużo prostszy
np.
\(\displaystyle{ \sqrt{6+\sqrt{6+...}}=x}\)
Skoro granicę liczymy to możemy sobie wstawić \(\displaystyle{ x=\sqrt{6+x}}\)
Licząc to równanie kwadratowe odrzucamy ujemny pierwiastek i ta część jest zbieżna do 3.
Drugie jest ciut bardziej skomplikowane
Robimy to samo co poprzednio \(\displaystyle{ y=\sqrt[3]{y+6}}\)
\(\displaystyle{ y^{3}-y-6=0}\)
\(\displaystyle{ (y-2)(y^{2}+2y+3)}\), a z tego zapisu łatwo już wywnioskować, że taki ciąg jest zbieżny do 2. A więc nasza suma jest w nieskończoności zbieżna do 5, czyli jest zawsze od niej mniejsza
EDIT: Hehehe, Lorek, Twój sposób jest dużo prostszy
- Lorek
- Użytkownik
- Posty: 7150
- Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ruda Śląska
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 1322 razy
Udowodnij, że
Jakby postępować, tak jak piszesz, to ta suma jest równa 5, a nie mniejsza od niej Ważne właśnie jest to, że to pierwiastkowanie kiedyś się kończy.polskimisiek pisze:a z tego zapisu łatwo już wywnioskować, że taki ciąg jest zbieżny do 2. A więc nasza suma jest w nieskończoności zbieżna do 5, czyli jest zawsze od niej mniejsza
[ Dodano: 7 Października 2007, 19:41 ]
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{{6}+\sqrt[3]{{6}+\sqrt[3]{{6}+...+\sqrt[3]{6}}}}+\sqrt{{6}+\sqrt{{6}+\sqrt{{6}+...+\sqrt{6}}}} }\)
-
- Użytkownik
- Posty: 2234
- Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 22 razy
- Pomógł: 390 razy
Udowodnij, że
No więc właśnie dlatego napisałem, że skoro są zbieżne w nieskończoności, to dlatego (tu chyba zabrakło po prost7u sformułowania "dla skończonej liczby wyrazów") suma jest zawsze mniejsza od 5