wykzać warunek z pochodną

[profesorq]

Wykazać że jeśli f : R -> R spełnia dla każdego \(\displaystyle{ x R}\) warunek \(\displaystyle{ f'(x)=2f(x), to f(x)=Ce^{2x}}\) dla każdego \(\displaystyle{ C R}\)

[soku11]

Zapisze ci dowod mojego typka od cwiczen, wiec nie bede wyjasnial:
\(\displaystyle{ Niech\ g(x)=f(x)\cdot e^{-2x},\ x\in\mathbb{R}\\
Wtedy:\\
g'(x)=f'(x)\cdot e^{-2x}+f(x)\cdot(-2)\cdot e^{-2x}=2f(x)e^{-2x}-2f(x)e^{-2x}=0, x\in\mathbb{R}\ \ \exists_{C\in\mathbb{R}}\ \forall_{x\in\mathbb{R}}\ \ \underbrace{g(x)}_{f(x)\cdot e^{-2x}}=C,\ \ f(x)=Ce^{-2x}\ \forall_{x\in\mathbb{R}}}\)


Nie do konca czaje czy jest to ok ale przepisywalem z tablicy... POZDRO

[profesorq]

ok dzięki
chyba z kim innym mamy ćwiczenia

[Lorek]

Można i rozwiązać równanie
\(\displaystyle{ y'=2y}\)
(y=f(x))