równanie z parametrem

[piotrekg2]

Dla jakich wartości parametru m równanie
\(\displaystyle{ \sin^{4}x-\cos^{4}x=6m-\cos^{2}2x}\)
ma co najmniej jedno rozwiązanie?

[Ptaq666]

\(\displaystyle{ sin^{4}x - cos^{4}x + cos^{2}2x = 6m}\)
\(\displaystyle{ (sin^{2}x + cos^{2}x)(sin^{2}x - cos^{2}x) + cos^{2}2x = 6m}\)
\(\displaystyle{ cos^{2}2x - cos2x = 6m}\)

i teraz mamy, że

\(\displaystyle{ cos2x = 6m}\)
lub
\(\displaystyle{ cos2x - 1 = 6m}\)


cos2x przyjmuje wartości od -1 do 1
to alternatywa, więc bierzemy sumę przedziałów obu rozwiązań i wychodzi, że dla

\(\displaystyle{ - \frac{1}{3}}\)

[Lorek]

\(\displaystyle{ cos^{2}2x - cos2x = 6m}\)

i teraz mamy, że

\(\displaystyle{ cos2x = 6m}\)
lub
\(\displaystyle{ cos2x - 1 = 6m}\)

Hmm, a np.
\(\displaystyle{ \cos2x = -6m}\)
i
\(\displaystyle{ \cos2x - 1 = -1}\)