Zbadaj zbieżność i wyznacz granicę ciągu
- magdabp
- Użytkownik
- Posty: 280
- Rejestracja: 28 paź 2006, o 23:09
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Poland
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 29 razy
Zbadaj zbieżność i wyznacz granicę ciągu
Zbadać zbieżność i wyznaczyć granicę ciągu \(\displaystyle{ (a_n)}\) określonego wzorem rekurencyjnym:
\(\displaystyle{ (a) a_1=\sqrt{5}}\)
\(\displaystyle{ a_{n+1}=\sqrt{5+a_n}}\)
\(\displaystyle{ n N}\)
\(\displaystyle{ (b) a_1=2}\)
\(\displaystyle{ a_{n+1}=\frac{1}{2}(a_n+\frac{1}{a_n})}\)
\(\displaystyle{ n N}\)
\(\displaystyle{ (a) a_1=\sqrt{5}}\)
\(\displaystyle{ a_{n+1}=\sqrt{5+a_n}}\)
\(\displaystyle{ n N}\)
\(\displaystyle{ (b) a_1=2}\)
\(\displaystyle{ a_{n+1}=\frac{1}{2}(a_n+\frac{1}{a_n})}\)
\(\displaystyle{ n N}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 2234
- Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 22 razy
- Pomógł: 390 razy
Zbadaj zbieżność i wyznacz granicę ciągu
a) Niech nasza granica x będzie równa:
\(\displaystyle{ x=\sqrt{5+\sqrt{5+...}}}\) skoro dążymy tu do nieskończoności możemy sobie założyć, że:
\(\displaystyle{ x=\sqrt{5+x}}\) liczysz tu sobie równanie kwadratowe i wychodzi granica:
\(\displaystyle{ x=\frac{1+\sqrt{21}}{2}}\)
\(\displaystyle{ x=\sqrt{5+\sqrt{5+...}}}\) skoro dążymy tu do nieskończoności możemy sobie założyć, że:
\(\displaystyle{ x=\sqrt{5+x}}\) liczysz tu sobie równanie kwadratowe i wychodzi granica:
\(\displaystyle{ x=\frac{1+\sqrt{21}}{2}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 2234
- Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 22 razy
- Pomógł: 390 razy
Zbadaj zbieżność i wyznacz granicę ciągu
Wiem, przydałoby się to bardziej sformalizować. No, mogę choćby wywnioskować, że ta granica istnieje, bo mogę sobie walnąć ograniczenie z góry oraz z dołu. Poza tym, przyjmując założenia o tym, że n dąży do nieskończoności, zapis, który wykonałem jest poprawny.
-
- Użytkownik
- Posty: 1330
- Rejestracja: 10 paź 2004, o 13:30
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Suchedniów
- Pomógł: 104 razy
Zbadaj zbieżność i wyznacz granicę ciągu
To, ze ciag jest ograniczony nie oznacza, ze jest zbiezny:)
-
- Użytkownik
- Posty: 2234
- Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 22 razy
- Pomógł: 390 razy
Zbadaj zbieżność i wyznacz granicę ciągu
Nawet jeśli przyłożę ograniczenie z obu stron? Może masz rację, ale czy mógłbyś podać mi przykład ciągu ograniczonego z góry i z dołu, który jest rozbieżny?
-
- Użytkownik
- Posty: 2234
- Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 22 razy
- Pomógł: 390 razy
Zbadaj zbieżność i wyznacz granicę ciągu
No dobrze, ale w tym przypadku akurat \(\displaystyle{ a_{n}=(-1)^{n}}\) nie jest dobrym przykładem. Nasz ciąg jest rosnący, nie jest przemienny, więc w mojej opinii jest zbieżny.
-
- Użytkownik
- Posty: 1330
- Rejestracja: 10 paź 2004, o 13:30
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Suchedniów
- Pomógł: 104 razy
Zbadaj zbieżność i wyznacz granicę ciągu
Dlaczego nie jest dobrym przykladem?
Owszem, to jest prawda, ciag ktory rozwazamy jest zbiezny, ale wlasnie dlatego, ze jest ograniczony z gory i ROSNACY. I na to sformulowanie czekalem. Bez tego to jest jakas 1/4 zadania zrobiona.
Owszem, to jest prawda, ciag ktory rozwazamy jest zbiezny, ale wlasnie dlatego, ze jest ograniczony z gory i ROSNACY. I na to sformulowanie czekalem. Bez tego to jest jakas 1/4 zadania zrobiona.
-
- Użytkownik
- Posty: 122
- Rejestracja: 28 lis 2006, o 00:57
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: nie pamiętam.
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 22 razy
Zbadaj zbieżność i wyznacz granicę ciągu
b)zróbmy dwa przypadki:
1. \(\displaystyle{ a_n>1 \frac{1}{a_n} < 1}\)
\(\displaystyle{ 1/2(a_n+\frac{1}{a_n})}\)
1. \(\displaystyle{ a_n>1 \frac{1}{a_n} < 1}\)
\(\displaystyle{ 1/2(a_n+\frac{1}{a_n})}\)