Definicja Cauchy'ego w udowadnianiu granicy ciagu

[soku11]

WITAM!
Zaczely sie studia i pojawiaja sie pierwsze problemy Jak narazie troche rzeczy rozumiem, jednak nie potrafie sobie wyobrazic tylko udowadniania granic z defnicji Cauchy'ego i Heinego (tego troszeczke juz lapie bo mialem w LO). Otoz mam przykladowe zadanko, by udowodnic, ze

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a}=1\quad a>0\\}\)

Sama definicje znam:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} a_{n}=g\quad \Longleftrightarrow\ \forall_{\varepsilon>0}\ \exists_{n_{0}}\ \forall_{n>n_{0}}\ \ |a_n-a|}\)

Jedyne co wiem, to ze trzeba tak dobrac \(\displaystyle{ n_{0}}\), aby udowodnic, ze zachodzi dla dowolnego \(\displaystyle{ \varepsilon}\), jednak z tym mam akurat problem Za wszelka pomoc z gory dziekuje.

BTW. Pozniej dodam jeszcze Cauchy'ego w funkcjach
POZDO

[Piotr Rutkowski]

Znaczy, ja bym tutaj po prostu olał całkowicie definicję i zrobił np. tak:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a}=\lim_{n\to\infty}a^{\frac{1}{n}}=a^{\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}}=...}\)

[luka52]

polskimisiek jak z definicji to z definicji i nie ma co wymyślać...

[soku11]

Znaczy, ja bym tutaj po prostu olał całkowicie definicję i zrobił np. tak:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a}=\lim_{n\to\infty}a^{\frac{1}{n}}=a^{\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}}=...}\)

Za wlasnie takie cos koles dostal 0 pkt Ma byc z definicji Cauchyego. Najlepiej gdyby bylo calkowite rozwiazanie, ale kazda wskazowka jest dla mnie wazna. POZDRO

[micholak]

Ustalamy dowolny \(\displaystyle{ \epsilon > 0}\)

Trzeba pokazac ze
\(\displaystyle{ 1-\epsilon}\)

\(\displaystyle{ a ^{\frac{1}{n}} }\)

to to samo co
\(\displaystyle{ a }\)

co zachodzi dla n wiekszych od pewnego N'

podobnie
\(\displaystyle{ a > (1 - \epsilon)^{n}}\)

dla n wiekszych od pewnego N''

Niech \(\displaystyle{ N=max\{N',N''\}}\)
dla n>N zachodzi
\(\displaystyle{ |a ^{\frac{1}{n}} -1|}\)

[soku11]

Troche srednio rozumiem twoj tok rozumowania :/ Wyznaczyles a, jednak nie rozumiem po co oraz skad wprowadziles N' oraz N'' i po co nam ta N bedaca wartoscia maksymalna .... Sory za takie trywialne pytania, jednak chce oprocz zaliczenia zrozumiec metode rozwiazywania tego typu przykladow z definicji. POZDRO

[micholak]

Pytania wcale nie sa trywialne

Juz odpowiadam
Nierownosc
\(\displaystyle{ a }\)
zachodz dla n>N' (ze takie N' istnieje wiemy choc nie musimy wiedziec jakie jest dokladnie)

Nierownosc
\(\displaystyle{ a > (1 - \epsilon)^{n}}\)
zachodzi dla n>N'' (znow wiemy ze N'' istnieje nie wiadomo jednak ile wynosi i czy jest jakos powiazany z N')

Stad wniosek ze dla n wiekszych jednoczesnie od N' i N'' zachodza jednoczesnie obie nierownosci. I po to bylo wlasnie to rozdzielenie na dwa przypadki. Moze i da sie z jednym N ale trzeba by pomyslec.

A i jeszcze jedna uwaga tak naprawde bierzemy \(\displaystyle{ \epsilon }\), ale to nie przeszkadza, bo jesli wezmiemy \(\displaystyle{ \epsilon \geq 1}\)
to dla n>N (istnienie takiego N jest pokazane wczesniej)
\(\displaystyle{ |a ^{\frac{1}{n}} -1|}\)

[soku11]

No juz zaczynam rozumiec Postaram sie to sobie poczytac z kilka razy to moze zrozumiem calkowicie. Plus dla ciebie. Jeszcze mam taka granice ciagu:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=1}\)

Jak tutaj wyznaczyc n?? Bo mamy cos postaci \(\displaystyle{ n^\frac{1}{n}}}\)...

POZDRO

[micholak]

Hmm z definicji nie jest to zbyt ladne ale moze byc cos w tym stylu


Ustalmy \(\displaystyle{ \epsilon > 0}\)

zawsze jest \(\displaystyle{ n^{\frac{1}{n}} \geq 1}\)
czyli w szczegolnosci zawsze jest
\(\displaystyle{ n^{\frac{1}{n}} > 1- \epsilon}\)

Nierownosc
\(\displaystyle{ n^{\frac{1}{n}} }\)
bedzie zachodzic jesli bedzie zachodzic nierownosc
\(\displaystyle{ n}\)
ta bedzie zachodzic jesli bedzie zachodzic
\(\displaystyle{ n}\)
no i tu robi sie problem, mozna podzielic przez n, dazyc z n do nieskonczonosci i stad widac ze od pewnego N zachodzi ta nierownosc. Ewentualnie po przeliczeniach, ktorych nie chce mi sie wpisywac w tex'a dostalem
\(\displaystyle{ (1-\epsilon+\frac{1}{2}\epsilon^{2})}\)
co przy odpowiednio malym \(\displaystyle{ \epsilon}\) (co nie jest problemem jak wspomnialem wczesniej) zachodzi dla
\(\displaystyle{ n>\frac{2(1-\epsilon+\frac{1}{2}\epsilon^{2})}{\epsilon^{2}}}\)
Stad istnieje N takie ze dla n>N zachodzi
\(\displaystyle{ n^{\frac{1}{n}} }\)

czyli dla n>N zachodzi
\(\displaystyle{ |n^{\frac{1}{n}}-1| }\)

[soku11]

Ok. Masz drugiego plusika. Jutro to przemysle i najwyzej napisze jak cos mi nie bedzie pasowac POZDRO