moc zbiorów

Mirva · Post autor: **Mirva** » 14 gru 2004, o 19:42

Jakiej mocy są zbiory:
a) Zbiór wszystkich odcinków otwartych na prostej, o jednym końcu będącym liczbą wymierną, a drugim - niewymierną
b) Zbiór wszystkich kół bez brzegu na płaszczyźnie, których środki są punktami o współrzędnych wymiernych i długości promieni są liczbami wymiernymi
?????
z góry dzięki za jakąkolwiek pomoc...

pietia · Post autor: **pietia** » 14 gru 2004, o 20:10

Mirva pisze: a) Zbiór wszystkich odcinków otwartych na prostej, o jednym końcu będącym liczbą wymierną, a drugim - niewymierną

Każdy odcinek otwarty na prostej,spełniający ten warunek, można jednoznacznie utożsamić z parą, której pierwszy element jest liczbą wyimerną, a drugi - niewymierną. zatem zbiór wszystkich takich odcinków ma moc równą mocy iloczynu kartezjańskiego Qx(RQ) skoro RQ ma moc Continuum, a Q aleph 0 , więc ten zbiór jest mocy Continuum

b) Zbiór wszystkich kół bez brzegu na płaszczyźnie, których środki są punktami o współrzędnych wymiernych i długości promieni są liczbami wymiernymi

tym razem mamy do czynienia z trójkami liczb... czyli rozpatrujemy moc iloczynu QxQxQ
Q jest przeliczalne... zatem iloczyn QxQxQ też jest przeliczalny.... (moc aleph0)

W pełnym rozwiązaniu należy jeszcze dobrze uzasatnić te jednoznaczne przyporządkowanie. Jest to sprawa kosmetyczna, ale niezwykle istorna dla poprawności.

Mirva · Post autor: **Mirva** » 14 gru 2004, o 20:49

dzięki bardzo. Nie wiedziałem za bardzo jak się za to zabrać, ale tera powoli zaczyna to mi się rozjaśniać. Dzięki.