Zbadaj zbieżność i wyznacz granicę ciągu

[magdabp]

Zbadać zbieżność i wyznaczyć granicę ciągu \(\displaystyle{ (a_n)}\) określonego wzorem rekurencyjnym:
\(\displaystyle{ (a) a_1=\sqrt{5}}\)
\(\displaystyle{ a_{n+1}=\sqrt{5+a_n}}\)
\(\displaystyle{ n N}\)


\(\displaystyle{ (b) a_1=2}\)
\(\displaystyle{ a_{n+1}=\frac{1}{2}(a_n+\frac{1}{a_n})}\)
\(\displaystyle{ n N}\)

[Piotr Rutkowski]

a) Niech nasza granica x będzie równa:
\(\displaystyle{ x=\sqrt{5+\sqrt{5+...}}}\) skoro dążymy tu do nieskończoności możemy sobie założyć, że:
\(\displaystyle{ x=\sqrt{5+x}}\) liczysz tu sobie równanie kwadratowe i wychodzi granica:
\(\displaystyle{ x=\frac{1+\sqrt{21}}{2}}\)

[liu]

A skad wiesz, ze ta granica istnieje?

[Piotr Rutkowski]

Wiem, przydałoby się to bardziej sformalizować. No, mogę choćby wywnioskować, że ta granica istnieje, bo mogę sobie walnąć ograniczenie z góry oraz z dołu. Poza tym, przyjmując założenia o tym, że n dąży do nieskończoności, zapis, który wykonałem jest poprawny.

[liu]

To, ze ciag jest ograniczony nie oznacza, ze jest zbiezny:)

[Piotr Rutkowski]

Nawet jeśli przyłożę ograniczenie z obu stron? Może masz rację, ale czy mógłbyś podać mi przykład ciągu ograniczonego z góry i z dołu, który jest rozbieżny?

[liu]

\(\displaystyle{ a_n = (-1)^n}\)

[g-dreamer]

1) jest ograniczony i rosnący => zbieżny?

[Piotr Rutkowski]

No dobrze, ale w tym przypadku akurat \(\displaystyle{ a_{n}=(-1)^{n}}\) nie jest dobrym przykładem. Nasz ciąg jest rosnący, nie jest przemienny, więc w mojej opinii jest zbieżny.

[liu]

Dlaczego nie jest dobrym przykladem?

Owszem, to jest prawda, ciag ktory rozwazamy jest zbiezny, ale wlasnie dlatego, ze jest ograniczony z gory i ROSNACY. I na to sformulowanie czekalem. Bez tego to jest jakas 1/4 zadania zrobiona.

[g-dreamer]

b)zróbmy dwa przypadki:
1. \(\displaystyle{ a_n>1 \frac{1}{a_n} < 1}\)
\(\displaystyle{ 1/2(a_n+\frac{1}{a_n})}\)