Granice ciągów

[magdabp]

Oblicz granice następujących ciągów:

\(\displaystyle{ (a) a_n=\sqrt[n]{3n+5}}\)

\(\displaystyle{ (b) a_n=\sqrt[n]{2^n+7^n+9^n}}\)

\(\displaystyle{ (c) \lim_{n \to }(\frac{n^2-3}{n^2+5})^{2+3n^2}}\)

\(\displaystyle{ (d) a_n=(1-\frac{5}{n^2})^{3n+1}}\)

\(\displaystyle{ (e) a_n=(\frac{n^2+5n+2}{n^2+3n})^{2n+1}}\)

\(\displaystyle{ (f) \lim_{x \to }(\sqrt{9n^2+5n+4}-3n)}\)

[Piotr Rutkowski]

W a) oraz b) tw. o 3 ciągach
W c), d), e) zabawa z liczbą e
W ostatnim skorzystaj ze wzoru \(\displaystyle{ a-b=\frac{a^{2}-b^{2}}{a+b}}\)

[magdabp]

Nie miałam w liceum żadnej z tych rzeczy o której piszesz:/ dlatego prosiłabym jednak o rozwiązanie tych przykładów...

[Piotr Rutkowski]

Weźmy sobie przykład a)
\(\displaystyle{ \sqrt[n]{n} q \sqrt[n]{3n+5} q \sqrt[n]{8n}}\) granice naszych "skrajnych" ciągów to 1, a więc nasz ciąg ma granicę w jedynce.
podobnie dla przykładu b) wyliczysz granicę równą 9
z przykładem f sobie poradzisz

co do pozostałych przykładów, są one do siebie podobne, zrobię np. d)
\(\displaystyle{ (1-\frac{5}{n^2})^{3n+1}=((1-\frac{5}{n^2})^{-\frac{n^{2}}{5}})^{-\frac{3n+1}{\frac{n^{2}}{5}}}\rightarrow e^{0}=1}\)