czy wynik jest poprawny?

[poczekaj]

\(\displaystyle{ \lim_{x\to }2^{\frac{n+1}{n+3}}=2}\)

[Piotr Rutkowski]

Tak jest poprawny. Uzasadnienie \(\displaystyle{ \lim_{n\to }2^{\frac{n+1}{n+3}}=2^{1}=2}\)

[liu]

Nie, nie jest.
\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} 2^{\frac{n+1}{n+3}} = 2^{\frac{n+1}{n+3}}}\).

[Piotr Rutkowski]

liu, przecież wiadomo od razu, że to była mała literówka.

[poczekaj]

Jeszcze kilka przykładów umieszczę, bo nie mam w zbiorze odpowiedzi do wszystkich.

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}(\frac{2n-3}{3n+1})^{999} = (\frac{2}{3})^{999}}\) Tak po prostu?

[Piotr Rutkowski]

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}(\frac{2n-3}{3n+1})^{999} = \lim_{n\to\infty}(\frac{2-\frac{3}{n}}{3+\frac{1}{n}})^{999}=(\frac{2}{3})^{999}}\)

[poczekaj]

Nie wiem jak zrobić to:

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}ln(\frac{n+1}{n+2})^{\frac{n}{2}}}\)

[Piotr Rutkowski]

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}ln(\frac{n+1}{n+2})^{\frac{n}{2}}})=ln(\lim_{n\to\infty}(\frac{n+2-1}{n+2})^{\frac{n}{2}}=ln(\lim_{n\to\infty}((1-\frac{1}{n+2})^{-(n+2))^{-\frac{\frac{n}{2}}{n+2}}}=ln(e^{-\frac{1}{2}})=-\frac{1}{2}}\)

[poczekaj]

Wszytko jasne, poza tym dlaczego zamieniłeś miejscami lim z ln.

[liu]

Pewnie dlatego, ze logarytm jest funkcja ciagla.
Aczkolwiek tak czy tak taki zapis jest odrobine nieporzadny, bo z gory nie wiemy, czy ten ciag jest zbiezny, powinnismy najpierw wyznaczyc granice tego co jest pod logarytmem, a potem skorzystac z ciaglosci:)

[poczekaj]

Hmm...
Końcowe przekształcenie którego nie zapisałeś to:

\(\displaystyle{ \ln (\lim_{n\to }(1+\frac{-1}{n+2}))^{(n+2)(\frac{\frac{n}{2}}{n+2})}=\ln (\lim_{n\to }(e^{\frac{\frac{-n}{2}}{n+2}})=\ln (\lim_{n\to }{(e^{\frac{-n}{2n+4)}})=\ln(e^{\frac{-1}{2}})}\)

Dobrze zrozumiałem?


I problemów ciąg dalszy:

\(\displaystyle{ \lim_{n\to } sgn[(n+n^{-1})^{-1}-2]=\lim_{n\to }sgn[\frac{n}{n^{2}+1}-2]}\) I co dalej?

[Piotr Rutkowski]

\(\displaystyle{ ...=sgn(-2)=...}\)

[poczekaj]

Czy

\(\displaystyle{ \lim_{n\to } \sqrt[n]{xn}=1}\) ??

Ciężko mi sie uczyć bez podręcznika. Jeszcze 2 dni będę głupie pytania zadawał odnośnie granic.

[jarekp]

zgadza się.granicą jest 1. Przytoczyć dowód? (zajmie to chwilę bo jest długawy:)

[poczekaj]

Nie musisz sie fatygować. Wystarczy ze wiem ze tak jest.

[ Dodano: 7 Października 2007, 16:39 ]
\(\displaystyle{ \lim_{n\to } \frac{1}{n^{2}+1}+\frac{1}{n^{2}+2}+\frac{1}{n^{2}+3}+...+\frac{1}{n^{2}+n}=1}\)


Domyślam się, że wynik będize 1, proszę jednak o podanie przykładu ciągów spełniających warunek twierdzenia o 3 ciagach.

Zarówno może być:
\(\displaystyle{ \frac{n}{n^{2}+n}\leqslant \frac{1}{n^{2}+1}+\frac{1}{n^{2}+2}+...+\frac{1}{n^{2}+n}\leqslant \frac{n}{n^{2}+1}}\)

jak i :

\(\displaystyle{ \frac{n^{2}}{n^{2}+n}\leqslant \frac{1}{n^{2}+1}+\frac{1}{n^{2}+2}+...+\frac{1}{n^{2}+n}\leqslant \frac{n^{2}}{n^{2}+1}}\)


W pierwszym wypadku granica wychodzi 0 a w drugim 1. Proszę o wytłumaczenie jak mam liczyć.

Czy może kompletnie źle to zrobiłem?
Głupieje już od tych granic.

[ Dodano: 7 Października 2007, 17:25 ]
Jeszcze jeden przykład.


\(\displaystyle{ \sqrt[n]{100n+3^{n}}}\)

Oczywiście też twierdzeniem o 3 ciągach.