wykazać indukcyjnie

LySy007 · Post autor: **LySy007** » 6 paź 2007, o 17:57

Wykaż, że jeżeli liczba \(\displaystyle{ n}\) jest sumą kwadratów dwóch licz całkowitych, to liczba \(\displaystyle{ 5n}\) również ma tę własność.

mms · Post autor: **mms** » 6 paź 2007, o 18:55

Stosowanie indukcji do tego zadania to słaby pomysł. Mam lepszy:

Załóżmy, że \(\displaystyle{ n=k^2+l^2}\) gdzie \(\displaystyle{ k, \ l}\) są całkowite.
\(\displaystyle{ 5n= 5k^2+5l^2 = 4k^2+4kl+l^2+k^2-4kl+4l^2= (2k)^2+4kl+l^2+k^2-4kl+(2l)^2= (2k+l)^2 + (k-2l)^2}\) c.n.d.
Warto zauważyć, że jest to dowód konstruktywny.

Piotr Rutkowski · Post autor: **Piotr Rutkowski** » 6 paź 2007, o 18:57

\(\displaystyle{ (2k+l)^2 + (k-2l)^2}\) zapomniałeś o minusie

mms · Post autor: **mms** » 6 paź 2007, o 18:58

Racja, już poprawiłem.

LySy007 · Post autor: **LySy007** » 6 paź 2007, o 21:46

Dzięki za pomoc.