pierwiastki, równanie

[lotoszek]

\(\displaystyle{ \sqrt[3]{\999\sqrt{2}-\959\sqrt{5}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}}\)

\(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b N}\) tak by powyższa równość była prawdziwa

proszę, pomóżcie...

[Dargi]

Skorzystaj ze wzoru na różnicę do sześcianu

[ Dodano: 6 Października 2007, 18:20 ]
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{\999\sqrt{2}-\959\sqrt{5}}=\sqrt[3]{(3\sqrt{2}-\sqrt{5})^3}=3\sqrt{2}-\sqrt{5}}\)
Więc jeżeli \(\displaystyle{ 3\sqrt{2}-\sqrt{5}=\sqrt{a}-\sqrt{b}}\) To odpowiednikami \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) to nic innego jak liczby \(\displaystyle{ a=18}\) i \(\displaystyle{ b=5}\)

[lotoszek]

ok, ok...w porządku, ale nie przypadkiem:

a=18, b=5?

i powiedz prosze jeszcze jak to rozłożyleś?

[Dargi]

lotoszek, tak oczywiście już poprawiam źle coś przepisałem ;p

[lotoszek]

a jak się zamienia \(\displaystyle{ \999\sqrt{2}-\959\sqrt{5}}\) na postać \(\displaystyle{ a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3}\) ?? Proszę choćby o jakąś wskazówkę, bo probowałem, ale nie wychodzi.

[Dargi]

lotoszek, ja to robie tak na wyczucie ;p W pamięci można powiedzieć. Ta postać mówi mi już że muszę znaleść dwie takie liczby która ich różnica podniesiona do potęgi 3 da mi podaną formę by "uciec" z pierwiastka 3 stopnia. Trzeba po prostu robić dużo zadań tego typu by mieć tą że tak to nazwę umiejętność wychwytywania tych wzorków skróconego mnożenia ;p

[lotoszek]

Dargi, i nie da się tego jakoś rozpisać? jakiś wzór? nie wiem... cokolwiek? Na wyczucie nie mam szans tego zrobić.

[niewiadomo]

Da się, akurat w tym zadaniu jest ułatwiona sytuacja bo wiemy że z tego wyrazenia po pierwiastkiem mają wyjść nam suma dwóch pierwiastków.
Podstawmy, że \(\displaystyle{ (\sqrt{a}+\sqrt{b})^3=a\sqrt{a}-3a\sqrt{b}+3b\sqrt{a}-b\sqrt{b}}\)

Wiemy że a i b to liczby naturalne, a więc możemy zapisać że:
\(\displaystyle{ a\sqrt{a}+3b\sqrt{a}=\sqrt{a}(a+3b)=99\sqrt{2} \\ b\sqrt{b}+3a\sqrt{b}=\sqrt{b}(b+3a)=59\sqrt{5}}\)

59 jest liczbą pierwszą co daje nam że \(\displaystyle{ \sqrt{b}=\sqrt{5}}\)
I wyliczasz dalej a.

[lotoszek]

no i w drugim pasuje wszystko, a w pierwszym nie

EDIT: Aha... kapuje już ....

EDIT 2: a jednak nie, bo w drugim wychodzi mi \(\displaystyle{ 59\sqrt{5}}\) a jak podstawie te wartości a i b w pierwszym to, wychodzi ... aaaa... nic nie wychodzi

EDIT 3: wyszło!