podzielność przez 11

[LySy007]

Ile jest takich czterocyfrowych liczb podzielnych przez 11, których cyfrą setek i cyfrą jedności jest 8? Podaj te liczby.

Oczywiście łatwo można podać te liczby. Ale chodzi mi tutaj o rozwiązanie tego. Bo nie umiem tego zapisać.

[mms]

Szukaną liczbę możemy przedstawić w postaci: \(\displaystyle{ a_3 10^3 + a_2 10^2 + a_1 10^1 + a_0 10^0}\), gdzie \(\displaystyle{ a_3,a_2,a_1,a_0 \{0, 1, ..., 9\}}\) i \(\displaystyle{ a_3\neq 0}\).
Liczba \(\displaystyle{ a_3 10^3 + a_2 10^2 + a_1 10^1 + a_0 10^0}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 11}\) wtw, gdy \(\displaystyle{ 11|a_3+a_1-a_2-a_0}\) Ponieważ z zadania mamy \(\displaystyle{ a_2=a_0=8}\), więc żeby liczba \(\displaystyle{ a_3 10^3 + a_2 10^2 + a_1 10^1 + a_0 10^0}\) była podzielna przez \(\displaystyle{ 11}\) liczba \(\displaystyle{ a_3+a_1-16}\) musi być podzielna przez \(\displaystyle{ 11}\) Jednak \(\displaystyle{ a_3, a_1\in \{0, 1, ..., 9\}}\) i \(\displaystyle{ a_3\neq 0}\) więc \(\displaystyle{ -15 q a_3+a_1-16 q 2}\). Zatem, żeby \(\displaystyle{ 11|a_3+a_1-16}\) musi być \(\displaystyle{ a_3+a_1-16=-11}\) lub \(\displaystyle{ a_3+a_1-16=0}\), czyli \(\displaystyle{ a_3+a_1=5}\) lub \(\displaystyle{ a_3+a_1=16}\). Mamy stąd następujące możliwości:
\(\displaystyle{ =}\)
\(\displaystyle{ =}\)
\(\displaystyle{ =}\)
\(\displaystyle{ =}\)
\(\displaystyle{ =}\)
\(\displaystyle{ =}\)
\(\displaystyle{ =}\)
\(\displaystyle{ =}\)

Odpowiedź: Te liczby to \(\displaystyle{ 1848, \ 2838, \ 3828, \ 4818, \ 5808, \ 7898, \ 8888, \ 9878}\).

[LySy007]

Odpowiedź powinna być następująca:

Tych liczb jest 8. Najmniejsza to 1848 a największa 9878.Można to sprawdzić na kalkulatorze. Nadal nie wiem jak to zapisać. Twój zapis pewnie jest częściowo dobry, ale gdzieś musi być błąd.

[Sylwek]

Hmm, kolega mms nie uwzględnił jeszcze przypadków, gdy \(\displaystyle{ a_{1}+a_{3}=16}\), czyli liczb:

7898
8888
9878

I by było na tyle

[LySy007]

Masz rację Sylwek. Też to przeanalizowałem i zauważyłem. Dzięki Wam obu za pomoc.

[mms]

Hmm, kolega mms nie uwzględnił jeszcze przypadków, gdy \(\displaystyle{ a_{1}+a_{3}=16}\), czyli liczb:

7898
8888
9878

To prawda, zapomniałem o tym. Ale po uwzględnieniu tego przypadku jest ok.