żS-2, od: Sylwek, zadanie 3

[Liga]

a. \(\displaystyle{ \log_{\frac{2}{3}}\left({4^{x^{2}+4x}+2^{x^{2}+4x-1}-\frac{1}{2}}\right)>0}\)

Najpierw zacznijmy od ustalenia dziedziny:
\(\displaystyle{ \begin{cases}\frac{2}{3}>0 \\ \frac{2}{3} \neq 0 \\ 4^{x^{2}+4x}+2^{x^{2}+4x-1}-\frac{1}{2}}>0 \end{cases}}\)

Wychodzi, że:
\(\displaystyle{ \mathbb{D}: \ x \in (- \infty, -2-\sqrt{3}) \cup (-2+\sqrt{3}, +\infty)}\)

Ponieważ podstawa logarytmu jest mniejsza od 1, to nasza nierówność jest równoważna danej:
\(\displaystyle{ \log_{\frac{2}{3}}\left({4^{x^{2}+4x}+2^{x^{2}+4x-1}-\frac{1}{2}}\right)>\log_{\frac{2}{3}}\left({1}\right) \\ 1>4^{x^{2}+4x}+2^{x^{2}+4x-1}-\frac{1}{2}}}\)

Rozwiązanie tej nierówności to: \(\displaystyle{ x (-4, 0)}\)

Po uwzględnieniu dziedziny otrzymujemy rozwiązanie zadania:
\(\displaystyle{ x (-4, -2-\sqrt{3}) \cup (-2+\sqrt{3},0)}\)

Odpowiedź: \(\displaystyle{ x (-4, -2-\sqrt{3}) \cup (-2+\sqrt{3},0)}\)


b. \(\displaystyle{ log_{x}4+log_{2}x^2=5}\)

Dziedziną jest: \(\displaystyle{ \mathbb{D}: \ x (0,1) \cup (1, +\infty)}\)

Stosujemy wzór na zmianę podstawy logarytmu, a następnie podstawiamy \(\displaystyle{ log_{2}\left{x}\right=t}\):

\(\displaystyle{ \frac{log_{2}\left{4}\right}{log_{2}\left{x}\right}+2log_{2}\left{x}\right=5 \\ \frac{2}{t}+2t=5 \\ 2+2t^2=5t \\ 2t^2-5t+2=0 \\ (t-2)(2t-1)=0 \\ t=2 t=\frac{1}{2} \\ log_{2}\left{x}\right=\frac{1}{2} log_{2}\left{x}\right=2 \\ x=\sqrt{2} x=4}\)

Po uwzględnieniu dziedziny otrzymujemy, że:
\(\displaystyle{ x=\sqrt{2} x=4}\)

Odpowiedź: \(\displaystyle{ x=\sqrt{2} x=4}\)

[mol_ksiazkowy]

okey 6 pkt