Udowodnij twierdzenie na sumę wyrazów ciągu geometrycznego.
\(\displaystyle{ S_{n}=a_{1}*\frac{q^{n}-1}{q-1}}\)
Udowodnij twierdzenie
-
luka52
- Użytkownik
- Posty: 8297
- Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 47 razy
- Pomógł: 1814 razy
Udowodnij twierdzenie
\(\displaystyle{ S_n = a_1 + a_2 + \ldots + a_n = a_1 \left( 1 + q + q^2 + \ldots + q^{n-1} \right)}\)
\(\displaystyle{ q S_n = a_1 q \left( 1 + q + q^2 + \ldots + q^{n-1} \right)\\
S_n - q S_n = a_1 \left( 1 + q + q^2 + \ldots + q^{n-1} \right) - a_1 ( q + q^2 + \ldots + q^n )\\
S_n (1-q) = a_1 (1 - q^n)\\
S_n = a_1 \frac{1 - q^n}{1-q}}\)
\(\displaystyle{ q S_n = a_1 q \left( 1 + q + q^2 + \ldots + q^{n-1} \right)\\
S_n - q S_n = a_1 \left( 1 + q + q^2 + \ldots + q^{n-1} \right) - a_1 ( q + q^2 + \ldots + q^n )\\
S_n (1-q) = a_1 (1 - q^n)\\
S_n = a_1 \frac{1 - q^n}{1-q}}\)