Rozsądek mi nakazuje próbować rozwijać pochodną zamiast funkcji a później scałkować szereg, ale...
\(\displaystyle{ f(x)=arcsin(x) \\
f'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}\)
pochodna też nie jest taka ładna do rozwijania w szereg. Z geometrycznego to nie bardzo widze możliwość pociągnąć a pochodne szybko stają sie kosmiczne... i mam problem z wymyśleniem ogólnego wzoru na n-tą pochodną.
Ktoś ma jakiś pomysł?
arcsin w Taylora (lub chociaż w Maclaurina)
- Emiel Regis
- Użytkownik
- Posty: 1495
- Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 71 razy
- Pomógł: 225 razy
- przemk20
- Użytkownik
- Posty: 1094
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 22:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Olesno
- Podziękował: 45 razy
- Pomógł: 236 razy
arcsin w Taylora (lub chociaż w Maclaurina)
Najlepiej to chyba skorzystac z uogolnienego dwumianu newtona :
\(\displaystyle{ f'(x) = (1-x^2)^{-\frac{1}{2}} = \sum_{k=0}^{\infty} {-\frac{1}{2} \choose k} (-x^2)^k}\)
\(\displaystyle{ f'(x) = (1-x^2)^{-\frac{1}{2}} = \sum_{k=0}^{\infty} {-\frac{1}{2} \choose k} (-x^2)^k}\)
- Emiel Regis
- Użytkownik
- Posty: 1495
- Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 71 razy
- Pomógł: 225 razy
- Undre
- Użytkownik
- Posty: 1430
- Rejestracja: 15 lis 2004, o 02:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: UĆ
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 92 razy
arcsin w Taylora (lub chociaż w Maclaurina)
czy § 192 z ci pomoże ?
Kod: Zaznacz cały
http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/mon/mon14/mon1408.pdf
- Emiel Regis
- Użytkownik
- Posty: 1495
- Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 71 razy
- Pomógł: 225 razy
arcsin w Taylora (lub chociaż w Maclaurina)
Pomogło; )Undre pisze:
Tu własnie jest wyjaśnione jak współczynnik zapisac w uczciwej postaci.
Miałem duże obiekcje co do zastosowania tego wzoru z tego względu że przy jego wyprowadzaniu korzysta się właśnie z rozwinięcia w szereg Maclaurina funkcji \(\displaystyle{ (1+x)^s}\). No i ten współczynnik nieelegancki jakiś.przemk20 pisze:\(\displaystyle{ f'(x) = (1-x^2)^{-\frac{1}{2}} = \sum_{k=0}^{\infty} {-\frac{1}{2} \choose k} (-x^2)^k}\)
W każdym razie problem pokonałem, dziekuje za pomoc.
Jeśli by ktoś chciał sobie tak jak ja "od podstaw" wyprowadzić ten wzór to niech sobie rozwinie w szereg funkcję \(\displaystyle{ f(t)=(1+t)^s}\) oraz podstawi pozniej \(\displaystyle{ t=-x^2, s=-\frac{1}{2}}\)
A co zrobić ze współczynnikami pisze w linku.